Kongruente Dreiecke & Kongruenzsätze
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Zusammenfassung
Kongruente Dreiecke & Kongruenzsätze
Erklärung kongruente Dreiecke
Zwei Dreiecke, die deckungsgleich sind, nennt man auch kongruent zueinander. Sie haben die gleiche Form und Größe, sie stimmen also in Seitenlänge und Winkel überein. Sind zwei Dreiecke ABC und DEF kongruent zueinander, schreibt man . Das Gleichheitszeichen mit der Welle darüber steht für Kongruenz. Anschaulich sind zwei Dreiecke die man ausgeschnitten so aufeinanderlegen kann, dass sie zur Deckung kommen. Sie sind deckungsgleich, sprich kongruent.
Beispiel: Zwei kongruente Dreiecke
Eindeutige Konstruktion und die Kongruenzsätze
Um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können, braucht man drei voneinander unabhängige Bestimmungsstücke. So kann man zum Beispiel ein Dreieck konstruieren, wenn man alle drei Seiten kennt. Diese drei unabhängigen Bestimmungstücke sind auch notwendig, um die Kongruenz von Dreiecken festzustellen. Welche Bestimmungsstücke man braucht, werden in den Kongruenzsätzen für Dreiecken spezifiziert. Stimmen diese für zwei Dreiecke überein, so sind sie kongruent.
Beispiel: Ein Dreieck konstruieren mit allen drei Seitenlängen gegeben
Man zeichnet zuerst die Strecke . Anschließend zeichnet man einen Kreis mit Radius der Strecke um und einen Kreis mit Radius der Strecke um . Der Schnittpunkt ergibt . Das Dreieck ist somit eindeutig konstruierbar.
Hinweis: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gegeben, kann man den dritten einfach ausrechnen, weil die Summe aller Winkel 180 ergeben muss. Das Dreieck ist durch die 3 Winkel aber nicht eindeutig definiert, da die Seitenlänge noch variieren kann.
Kongruenzsätze für Dreiecke
Das „S“ steht jeweils für Seite und das „W“ für Winkel. Der „SSS“-Satz ist somit der „Seiten-Seiten-Seiten“-Satz.
| SSS | Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.
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| WSW bzw. SWW | Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
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| SWS | Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und deren eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
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| SSW | Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen.
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Hinweis: Die Kongruenzsätze gelten nur für Dreiecke und lassen sich nicht simpel auf Vierecke oder allgemeine Vielecke übertragen.
Beispiel: Sind diese zwei Dreiecke kongruent?
Durch die Winkelsumme kann man den dritten Winkel ausrechnen. Wir sehen, dass alle Winkel übereinstimmen. Aber Achtung: WWW ist kein Kongruenzsatz, deshalb können wir noch nicht auf Kongruenz schließen. Wir sehen aber auch, dass die Winkel von und jeweils an die Seite mit anliegen. Mit dem Kongruenzsatz WSW können wir nun bestätigen, dass die zwei Dreiecke wirklich kongruent zueinander sind.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Gelten die Kongruenzsätze auch für Vierecke?
Nein, sie gelten nur für Dreiecke.
Sind zwei Dreiecke, die in allen Winkeln übereinstimmen kongruent?
Nein, ein Kongruenzsatz WWW existiert nicht. Die Überlegung ist, dass man immer drei voneinander unabhängige Bestimmungstücke braucht. Die drei Winkel eines Dreieckes sind nicht voneinander unabhängig, weil man aus zwei gegebenen den dritten ausrechnen kann.
Woran erkenne ich kongruente Dreiecke?
Um kongruente Dreiecke zu erkennen nutzt Du die Kongruenzsätze. Sie lauten SSS, WSW, SWW, SWS und SsW. Sind zum Beispiel alle drei Seiten (SSS) von zwei Dreiecken identisch, so sind sie kongruent. Ein anderes Beispiel wäre, wenn zwei Dreiecke in einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW, bzw. SWW).
Was sind kongruente Dreiecke?
Zwei Dreiecke, die deckungsgleich sind, werden auch kongruent zueinander genannt. Sie haben die gleiche Form und Größe, sie stimmen also in allen Seitenlängen und Winkeln überein. Sind zwei Dreiecke ABC und DEF kongruent zueinander, schreibst Du ABC≅DEF. Das Gleichheitszeichen mit der Welle darüber steht für Kongruenz.