Kongruente Dreiecke & Kongruenzsätze

Erklärung kongruente Dreiecke

Zwei Dreiecke, die deckungsgleich sind, nennt man auch kongruent zueinander. Sie haben die gleiche Form und Größe, sie stimmen also in Seitenlänge und Winkel überein. Sind zwei Dreiecke ABC und DEF kongruent zueinander, schreibt man $$ABC\cong DEF$$​. Das Gleichheitszeichen mit der Welle darüber steht für Kongruenz. Anschaulich sind zwei Dreiecke die man ausgeschnitten so aufeinanderlegen kann, dass sie zur Deckung kommen. Sie sind deckungsgleich, sprich kongruent.

Beispiel: Zwei kongruente Dreiecke

Eindeutige Konstruktion und die Kongruenzsätze

Um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können, braucht man drei voneinander unabhängige Bestimmungsstücke. So kann man zum Beispiel ein Dreieck konstruieren, wenn man alle drei Seiten kennt. Diese drei unabhängigen Bestimmungstücke sind auch notwendig, um die Kongruenz von Dreiecken festzustellen. Welche Bestimmungsstücke man braucht, werden in den Kongruenzsätzen für Dreiecken spezifiziert. Stimmen diese für zwei Dreiecke überein, so sind sie kongruent.

Beispiel: Ein Dreieck konstruieren mit allen drei Seitenlängen gegeben

Man zeichnet zuerst die Strecke $$c$$​. Anschließend zeichnet man einen Kreis mit Radius der Strecke $$b$$​ um $$A$$​ und einen Kreis mit Radius der Strecke $$a$$​ um $$B$$​. Der Schnittpunkt ergibt $$C$$​. Das Dreieck ist somit eindeutig konstruierbar.

Hinweis: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gegeben, kann man den dritten einfach ausrechnen, weil die Summe aller Winkel 180$$\degree$$​ ergeben muss. Das Dreieck ist durch die 3 Winkel aber nicht eindeutig definiert, da die Seitenlänge noch variieren kann.

Kongruenzsätze für Dreiecke

Das „S“ steht jeweils für Seite und das „W“ für Winkel. Der „SSS“-Satz ist somit der „Seiten-Seiten-Seiten“-Satz.

SSS	Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.
WSW bzw. SWW	Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
SWS	Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und deren eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
SSW	Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen.

Hinweis: Die Kongruenzsätze gelten nur für Dreiecke und lassen sich nicht simpel auf Vierecke oder allgemeine Vielecke übertragen.

Beispiel: Sind diese zwei Dreiecke kongruent?

Durch die Winkelsumme kann man den dritten Winkel ausrechnen. Wir sehen, dass alle Winkel übereinstimmen. Aber Achtung: WWW ist kein Kongruenzsatz, deshalb können wir noch nicht auf Kongruenz schließen. Wir sehen aber auch, dass die Winkel von $$80\degree$$​ und $$40\degree$$​ jeweils an die Seite mit $$2{,}2\,cm$$​ anliegen. Mit dem Kongruenzsatz WSW können wir nun bestätigen, dass die zwei Dreiecke wirklich kongruent zueinander sind.