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Erklärvideo

Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Bruchterme mit Faktorisieren

Bruchterm vereinfachen

Ziel es ist, den gegebenen Term so weit wie möglich zu kürzen.


Vorgehen

1.

Faktorisiere Zähler und Nenner jeweils so weit wie möglich.

                     I.            Zahlen / Variablen ausklammern

                   II.            Binomische Formel anwenden

                  III.            Zweiklammeransatz anwenden

2.

Kürze die Faktoren von Zähler und Nenner miteinander.

3.

Vereinfache den Term wie gewohnt weiter.


Beispiel 1 - Binomische Formeln

x2−25x2+10x+25\frac{x^2-25}{x^2+10x+25}x2+10x+25x2−25​​

Faktorisieren:

=3. bin. Formel2. bin. Formel=(x−5)(x+5)(x+5)2=\frac{3. \ bin. \ Formel}{2. \ bin. \ Formel}=\frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)^2}=2. bin. Formel3. bin. Formel​=(x+5)2(x−5)(x+5)​​​

Kürzen:

=(x−5)(x+5)=x−5x+5= \frac{(x-5)}{(x+5)}= \frac{x-5}{x+5}=(x+5)(x−5)​=x+5x−5​​​



Beispiel - Ausklammern

3x2+126x3+24x\frac{3x^2+12}{6x^3+24x}6x3+24x3x2+12​


Im Zähler kann man 333​ ausklammern, im Nenner 6x6x6x​ :

=3(x2+4)6x(x2+4)=\frac{3(x^2+4)}{6x(x^2+4)}=6x(x2+4)3(x2+4)​​​

Kürzen:

=12x‾=\underline{\frac{1}{2x}}=2x1​​


​​

Beispiel 2 - Zweiklammeransatz

x2+5x−142x−4\frac{x^2+5x-14}{2x-4}2x−4x2+5x−14​​


Nutze Zweiklammeransatz für den Zähler:


=(x+a)(x+b)2x−4=x2+(a+b)x+ab2x−4=\frac{(x+a)(x+b)}{2x-4}=\frac{x^2+(a+b)x+ab}{2x-4}=2x−4(x+a)(x+b)​=2x−4x2+(a+b)x+ab​​​


Es muss also gelten:

a+b=5;  ab=−14a+b=5; \ \ ab=-14a+b=5;  ab=−14​​


Dies ist erfüllt für:

a=7;  b=−2a=7; \ \ b=-2a=7;  b=−2​​


Einsetzen in den Ansatz ergibt:


x2+5x−142x−4=(x+7)(x−2)2x−4\frac{x^2+5x-14}{2x-4}=\frac{(x+7)(x-2)}{2x-4}2x−4x2+5x−14​=2x−4(x+7)(x−2)​


222​ im Nenner ausklammern:

=(x+7)(x−2)2(x−2)=\frac{(x+7)(x-2)}{2(x-2)}=2(x−2)(x+7)(x−2)​​​


Bruch kürzen:

=x+72‾=\underline{\frac{x+7}{2}}=2x+7​​



​

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Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:

Dies ist die Lektion, in der du dich gerade befindest, und das Ziel des Pfades.

Bruchterme mit Faktorisieren

Teil 1

Bruchterme mit Faktorisieren

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Müssen die Umformungen für den Zähler und Nenner gleichzeitig gemacht werden?

Nein, du kannst hier Nenner und Zählen unabhängig voneinander faktorisieren. Ziel ist es, den Bruch in eine Form zu bekommen, aus welcher einzelne Terme gekürzt werden können.

Welche Möglichkeiten gibt es, um eine Gleichung mit Brüchen zu faktorisieren?

Du kannst dazu Ausklammern, die binomischen Formeln oder den Zweiklammeransatz verwenden.

Wie vereinfache ich einen Bruch, wenn ich keine binomischen Formeln anwenden kann und alle möglichen Zahlen/ Terme ausgeklammert sind?

In dem Fall bietet es sich an, es mit dem Zweiklammeransatz zu versuchen.

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