Bruchterme mit Faktorisieren

Bruchterm vereinfachen

Ziel es ist, den gegebenen Term so weit wie möglich zu kürzen.

1.

Faktorisiere Zähler und Nenner jeweils so weit wie möglich.

I. Zahlen / Variablen ausklammern

II. Binomische Formel anwenden

III. Zweiklammeransatz anwenden

2.

Kürze die Faktoren von Zähler und Nenner miteinander.

3.

Vereinfache den Term wie gewohnt weiter.

Beispiel 1 - Binomische Formeln

$\frac{x^2-25}{x^2+10x+25}$

Faktorisieren:

$=\frac{3. \ bin. \ Formel}{2. \ bin. \ Formel}=\frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)^2}$ 

Kürzen:

$= \frac{(x-5)}{(x+5)}= \frac{x-5}{x+5}$ 

Beispiel - Ausklammern

$\frac{3x^2+12}{6x^3+24x}$

Im Zähler kann man $3$  ausklammern, im Nenner $6x$ :

$=\frac{3(x^2+4)}{6x(x^2+4)}$ 

Kürzen:

$=\underline{\frac{1}{2x}}$

Beispiel 2 - Zweiklammeransatz

$\frac{x^2+5x-14}{2x-4}$

Nutze Zweiklammeransatz für den Zähler:

$=\frac{(x+a)(x+b)}{2x-4}=\frac{x^2+(a+b)x+ab}{2x-4}$ 

Es muss also gelten:

$a+b=5; \ \ ab=-14$ 

Dies ist erfüllt für:

$a=7; \ \ b=-2$ 

Einsetzen in den Ansatz ergibt:

$\frac{x^2+5x-14}{2x-4}=\frac{(x+7)(x-2)}{2x-4}$

$2$ im Nenner ausklammern:

$=\frac{(x+7)(x-2)}{2(x-2)}$ 

Bruch kürzen:

$=\underline{\frac{x+7}{2}}$