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Bruchterme

Bruchterme mit Faktorisieren

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Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Bruchterme mit Faktorisieren

Bruchterm vereinfachen

Ziel es ist, den gegebenen Term so weit wie möglich zu kürzen.


Vorgehen

1.

Faktorisiere Zähler und Nenner jeweils so weit wie möglich.

                     I.            Zahlen / Variablen ausklammern

                   II.            Binomische Formel anwenden

                  III.            Zweiklammeransatz anwenden

2.

Kürze die Faktoren von Zähler und Nenner miteinander.

3.

Vereinfache den Term wie gewohnt weiter.


Beispiel 1 - Binomische Formeln

x225x2+10x+25\frac{x^2-25}{x^2+10x+25}

Faktorisieren:

=3. bin. Formel2. bin. Formel=(x5)(x+5)(x+5)2=\frac{3. \ bin. \ Formel}{2. \ bin. \ Formel}=\frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)^2}​​

Kürzen:

=(x5)(x+5)=x5x+5= \frac{(x-5)}{(x+5)}= \frac{x-5}{x+5}​​



Beispiel - Ausklammern

3x2+126x3+24x\frac{3x^2+12}{6x^3+24x}


Im Zähler kann man 33 ausklammern, im Nenner 6x6x:

=3(x2+4)6x(x2+4)=\frac{3(x^2+4)}{6x(x^2+4)}​​

Kürzen:

=12x=\underline{\frac{1}{2x}}


​​

Beispiel 2 - Zweiklammeransatz

x2+5x142x4\frac{x^2+5x-14}{2x-4}


Nutze Zweiklammeransatz für den Zähler:


=(x+a)(x+b)2x4=x2+(a+b)x+ab2x4=\frac{(x+a)(x+b)}{2x-4}=\frac{x^2+(a+b)x+ab}{2x-4}​​


Es muss also gelten:

a+b=5;  ab=14a+b=5; \ \ ab=-14​​


Dies ist erfüllt für:

a=7;  b=2a=7; \ \ b=-2​​


Einsetzen in den Ansatz ergibt:


x2+5x142x4=(x+7)(x2)2x4\frac{x^2+5x-14}{2x-4}=\frac{(x+7)(x-2)}{2x-4}


22​ im Nenner ausklammern:

=(x+7)(x2)2(x2)=\frac{(x+7)(x-2)}{2(x-2)}​​


Bruch kürzen:

=x+72=\underline{\frac{x+7}{2}}




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Müssen die Umformungen für den Zähler und Nenner gleichzeitig gemacht werden?

Welche Möglichkeiten gibt es, um eine Gleichung mit Brüchen zu faktorisieren?

Wie vereinfache ich einen Bruch, wenn ich keine binomischen Formeln anwenden kann und alle möglichen Zahlen/ Terme ausgeklammert sind?

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