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Trigonometrie

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

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Lehrperson: Nadine

Zusammenfassung

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Regeln

Die folgenden Regeln gelten für trigonometrische Terme und werden häufig bei Aufgaben angewendet:



Quadratsumme von Sinus und Kosinus


sin(x)2+cos(x)2=1\sin(x)^2+ \cos(x)^2=1​​


Tangens zu Sinus und Kosinus


tan(x)=sin(x)cos(x)\tan(x)= \frac{\sin(x)}{\cos(x)}​​


Winkelverschiebung

sin(x)=cos(90°x)\sin(x)=\cos(90°-x)​​
cos(x)=sin(90°x)\cos(x)=\sin(90°-x)​​
tan(90°x)=1tan(x)\tan(90°-x)=\frac{1}{\tan(x)}​​




Terme vereinfachen/ Beweise

Oftmals sind folgende Schritte hilfreich beim Vereinfachen von trigonometrischen Termen.

Ziel ist es, dass der Term so kurz und einfach wie möglich wird oder, dass man eine Gleichung beweist.



Vorgehen


Beispiele

1.

Löse Winkelverschiebungen 

(90°...90°-...) auf.

tan(90°x)cos(x)=1tan(x)cos(x)\tan(90°-x)\cdot \cos(x) \\=\frac{1}{\tan(x)}\cdot \cos(x)

2.

Ersetze den Tangens

 durch Sinus/Kosinus.

tan(x)sin(x)=sin(x)cos(x)sin(x)\tan(x)\cdot \sin(x) \\=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot \sin(x)

3.

Ersetze Sinus- und 

Kosinus-Quadrate.

sin(x)2+sin(x)cos(x)2=sin(x)(sin(x)2+cos(x)2)=sin(x)1=sin(x)\sin(x)^2+\sin(x)\cdot \cos(x)^2 \\=\sin(x) \cdot (\sin(x)^2+\cos(x)^2) \\=\sin(x) \cdot 1 \\=\sin(x)


Tipp: Oftmals muss man die Binomischen Formeln oder auch die Regeln der Potenzrechnung anwenden.



Beispiel - Stimmt die folgende Gleichung?


tan(90°x)2+1=1sin(x)2\tan(90°-x)^2+1=\frac{1}{\sin(x)^2}


Vereinfache hierfür die linke Seite der Gleichung.

Löse die Winkelverschiebung auf (tan(90°x)=1tan(x)\tan(90°-x)=\frac{1}{\tan(x)}):


1tan(x)2+1\frac{1}{\tan(x)^2}+1​​​


Ersetze den Tangens (tan(x)=sin(x)cos(x)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}):


=1(sin(x)cos(x))2+1=cos(x)2sin(x)2+1=\frac{1}{(\frac{\sin(x)}{\cos(x)})^2}+1 \\=\frac{cos(x)^2}{\sin(x)^2}+1​​


Fasse die Brüche zusammen:


=cos(x)2sin(x)2+sin(x)2sin(x)2=cos(x)2+sin(x)2sin(x)2=\frac{\cos(x)^2}{\sin(x)^2}+\frac{\sin(x)^2}{\sin(x)^2} \\=\frac{\cos(x)^2+\sin(x)^2}{\sin(x)^2}​​

Ersetze sin(x)2+cos(x)2\sin(x)^2+\cos(x)^2​ mit 1:


=1sin(x)2=\underline{\frac{1}{\sin(x)^2}}​​


Die Gleichung stimmt also!


tan(90°x)2+1=1sin(x)2\tan(90°-x)^2+1=\underline{\frac{1}{\sin(x)^2}}​​

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich den Sinus aus dem Kosinus berechnen?

Wie berechne ich Sinus mal Sinus?

Wie berechne ich den Tangens?

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