Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln
Regeln
Die folgenden Regeln gelten für trigonometrische Terme und werden häufig bei Aufgaben angewendet:
Quadratsumme von Sinus und Kosinus
sin(x)2+cos(x)2=1
Tangens zu Sinus und Kosinus
tan(x)=cos(x)sin(x)
Winkelverschiebung
sin(x)=cos(90°−x) |
cos(x)=sin(90°−x) |
tan(90°−x)=tan(x)1 |
Terme vereinfachen/ Beweise
Oftmals sind folgende Schritte hilfreich beim Vereinfachen von trigonometrischen Termen.
Ziel ist es, dass der Term so kurz und einfach wie möglich wird oder, dass man eine Gleichung beweist.
Vorgehen
| Beispiele |
| 1. | Löse Winkelverschiebungen (90°−...) auf. | tan(90°−x)⋅cos(x)=tan(x)1⋅cos(x)
|
| 2. | Ersetze den Tangens durch Sinus/Kosinus. | tan(x)⋅sin(x)=cos(x)sin(x)⋅sin(x)
|
| 3. | Ersetze Sinus- und Kosinus-Quadrate. | sin(x)2+sin(x)⋅cos(x)2=sin(x)⋅(sin(x)2+cos(x)2)=sin(x)⋅1=sin(x)
|
Tipp: Oftmals muss man die Binomischen Formeln oder auch die Regeln der Potenzrechnung anwenden.
Beispiel - Stimmt die folgende Gleichung?
tan(90°−x)2+1=sin(x)21
Vereinfache hierfür die linke Seite der Gleichung.
Löse die Winkelverschiebung auf (tan(90°−x)=tan(x)1):
tan(x)21+1
Ersetze den Tangens (tan(x)=cos(x)sin(x)):
=(cos(x)sin(x))21+1=sin(x)2cos(x)2+1
Fasse die Brüche zusammen:
=sin(x)2cos(x)2+sin(x)2sin(x)2=sin(x)2cos(x)2+sin(x)2
Ersetze sin(x)2+cos(x)2 mit 1:
=sin(x)21
Die Gleichung stimmt also!
tan(90°−x)2+1=sin(x)21
