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Quadratische Zusammenhänge

Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

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Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

Definition

Eine Größe, die durch eine quadratische Funktion beschrieben wird, soll maximiert oder minimiert werden.


Lösung eines quadratischen Optimierungsproblems

Das Maximum bzw. das Minimum der Funktion wird durch den Scheitelpunkt beschrieben.


Vorgehen

1.

Bestimme die quadratische Funktion.

Tipp:

  • Sind Scheitelpunkt (und Punkt) gegeben \rightarrow Scheitelpunktformel verwenden.
  • Sind drei Punkte gegeben \rightarrow​ Funktion durch ein Gleichungssystem bestimmen.

2.

Forme die quadratische Gleichung in die Scheitelpunktform um.

3.

Lies die Koordinaten des Scheitelpunkts ab. Diese Werte optimieren die quadratische Gleichung und sind somit die Lösung der Aufgabenstellung.

4.

Beantworte die Aufgabenstellung.


Beispiel

Der Umfang eines Rechtecks ist 24cm24 cm. Bestimme die Seitenlängen aa und bb​, sodass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Funktionsgleichung bestimmen:

Seitenlängen: 

aa und bb


Umfang:

24=2a+2b24= 2a+2b, umgeformt: b=12ab=12-a​​


Flächeninhalt:

f=abf=a\cdot b, eingesetzt: f(a)=a(12a)f(a)=a\cdot (12-a)


Scheitelpunktform bestimmen:

f(a)=a(12a)f(a)=a2+12af(a)=(a212a)f(a)=(a6)2+36\begin{aligned}f(a)&=a(12-a)\\f(a)&=-a^2+12a\\f(a)&=-(a^2-12a)\\f(a)&=-(a-6)^2+36\\\end{aligned}​​


Scheitelpunkt ablesen:

S(636)=(afmax)S(6|36)=(a|f_{max})​​


Seitenlängen:

a=6cm,b=6cm\underline{a=6cm, b = 6cm}





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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Beispiel für die quadratische Optimierung?

Wie wird eine Aufgabe mit der quadratischen Optimierung gelöst?

Was ist eine quadratische Optimierung?

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