Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

Definition

Eine Größe, die durch eine quadratische Funktion beschrieben wird, soll maximiert oder minimiert werden.

Lösung eines quadratischen Optimierungsproblems

Das Maximum bzw. das Minimum der Funktion wird durch den Scheitelpunkt beschrieben.

Vorgehen

Beispiel

Der Umfang eines Rechtecks ist $$24 cm$$. Bestimme die Seitenlängen $$a$$ und $$b$$​, sodass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Funktionsgleichung bestimmen:

Seitenlängen: 

$$a$$ und $$b$$​

Umfang:

$$24= 2a+2b$$, umgeformt: $$b=12-a$$​​

Flächeninhalt:

$$f=a\cdot b$$, eingesetzt: $$f(a)=a\cdot (12-a)$$​

Scheitelpunktform bestimmen:

$$\begin{aligned}f(a)&=a(12-a)\\f(a)&=-a^2+12a\\f(a)&=-(a^2-12a)\\f(a)&=-(a-6)^2+36\\\end{aligned}$$​​

Scheitelpunkt ablesen:

$$S(6|36)=(a|f_{max})$$​​

Seitenlängen:

$$\underline{a=6cm, b = 6cm}$$