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Bruchterme

Doppelbrüche vereinfachen & zusammenrechnen

Doppelbrüche vereinfachen & zusammenrechnen

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Lehrperson: Luca

Zusammenfassung


Doppelbrüche vereinfachen & zusammenrechnen

Bruchterme vereinfachen

Vorgehen

1.

Zähler und Nenner faktorisieren (in dieser Reihenfolge):

                     I.            Ausklammern

                   II.            Binomische Formeln

                  III.            Zweiklammeransatz

2.

Brüche kürzen.

3.

Term wie gewohnt zusammenrechnen.


Beispiel:

x+6x2+5x14+2xx24x+4\frac{x+6}{x^2+5x-14}+\frac{2-x}{x^2-4x+4}



Faktorisieren (Zweiklammeransatz mit a=7a=7  und b=2b=-2  für den ersten Bruch und die 2. Binomische Formel für den zweiten Bruch):


=x+6(x+7)(x2)+2x(x2)(x2)=x+6(x+7)(x2)+(x2)(x2)(x2)=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{2-x}{(x-2)(x-2)}=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-(x-2)}{(x-2)(x-2)}​​

Kürzen:


=x+6(x+7)(x2)+1(x2)=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1}{(x-2)}​​


Brüche gleichnamig machen:


=x+6(x+7)(x2)+1(x+7)(x2)(x+7)=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1(x+7)}{(x-2)(x+7)}


​Klammern ausrechnen:


=x+6x7(x+7)(x2)=\frac{x+6-x-7}{(x+7)(x-2)}​​


Terme zusammenfassen:

1(x+7)(x2)\underline{\frac{-1}{(x+7)(x-2)}}​​


​​


Auflösen von Doppelbrüchen

Einen Doppelbruch nennt man einen Bruch, welcher einen weiteren Bruch im Nenner, Zähler oder beiden hat.


Vereinfache den Bruch durch den Kehrbruch:


abcd=ab:cd=abdc=adbc\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}​​



Beispiel 1

3x5y=3xy5=3y5x\frac{\frac{3}{x}}{\frac{5}{y}}=\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{5}= \underline{\frac{3y}{5x}}




Beispiel 2

x2+14x+4910x249355x\frac{\frac{x^2+14x+49}{10}}{\frac{x^2-49}{35-5x}}

Kehrbruch:


=x2+14x+4910355xx249=\frac{x^2+14x+49}{10} \cdot \frac{35-5x}{x^2-49}​​


Terme faktorisieren:


=(x+7)(x+7)105(7x)(x+7)(x7)=(x+7)(x+7)105(x7)(x+7)(x7)= \frac{(x+7)(x+7)}{10} \cdot \frac{5(7-x)}{(x+7)(x-7)}= \frac{(x+7)(x+7)}{10} \cdot \frac{-5(x-7)}{(x+7)(x-7)}​​


Kürzen:


=(x+7)(1)2=\frac{(x+7)(-1)}{2}​​


Bruch vereinfachen:


=(x+7)2=\underline{-\frac{(x+7)}{2}}​​



Man kann Doppelbrüche auch nach dem Schema kürzen, wenn an einer der Stellen eine 1 steht:


Beispiel 3

5x255x+52x\frac{5x^2-5}{\frac{5x+5}{2x}}​​


In diesem Fall ist  b=1.b=1.​ Kehrbruch auflösen:


=(5x25)2x5x+5=(5x^2-5) \cdot \frac{2x}{5x+5}​​


Kürzen:


=(x21)2xx+1=(x^2-1) \cdot \frac{2x}{x+1}​​


Anwenden der 3. Binomischen Formel:


=(x1)(x+1)2xx+1=\frac{(x-1)(x+1)2x}{x+1}​​


Nochmal kürzen und vereinfachen:


=(x1)2x=2x22x=(x-1)2x=\underline{2x^2-2x}



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Wie kann ich Bruchterme vereinfachen?

Wie vereinfache ich einen Doppelbruch?

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