Doppelbrüche vereinfachen & zusammenrechnen

Bruchterme vereinfachen

Vorgehen

Beispiel:

$$\frac{x+6}{x^2+5x-14}+\frac{2-x}{x^2-4x+4}$$

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Faktorisieren (Zweiklammeransatz mit $$a=7$$​  und $$b=-2$$  für den ersten Bruch und die 2. Binomische Formel für den zweiten Bruch):

$$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{2-x}{(x-2)(x-2)}=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-(x-2)}{(x-2)(x-2)}$$​​

Kürzen:

$$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1}{(x-2)}$$​​

Brüche gleichnamig machen:

$$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1(x+7)}{(x-2)(x+7)}$$

​Klammern ausrechnen:

$$=\frac{x+6-x-7}{(x+7)(x-2)}$$​​

Terme zusammenfassen:

$$\underline{\frac{-1}{(x+7)(x-2)}}$$​​

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Auflösen von Doppelbrüchen

Einen Doppelbruch nennt man einen Bruch, welcher einen weiteren Bruch im Nenner, Zähler oder beiden hat.

Vereinfache den Bruch durch den Kehrbruch:

$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$$​​

Beispiel 1

$$\frac{\frac{3}{x}}{\frac{5}{y}}=\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{5}= \underline{\frac{3y}{5x}}$$​

Beispiel 2

$$\frac{\frac{x^2+14x+49}{10}}{\frac{x^2-49}{35-5x}}$$​

Kehrbruch:

$$=\frac{x^2+14x+49}{10} \cdot \frac{35-5x}{x^2-49}$$​​

Terme faktorisieren:

$$= \frac{(x+7)(x+7)}{10} \cdot \frac{5(7-x)}{(x+7)(x-7)}= \frac{(x+7)(x+7)}{10} \cdot \frac{-5(x-7)}{(x+7)(x-7)}$$​​

Kürzen:

$$=\frac{(x+7)(-1)}{2}$$​​

Bruch vereinfachen:

$$=\underline{-\frac{(x+7)}{2}}$$​​

Man kann Doppelbrüche auch nach dem Schema kürzen, wenn an einer der Stellen eine 1 steht:

Beispiel 3

$$\frac{5x^2-5}{\frac{5x+5}{2x}}$$​​

In diesem Fall ist  $$b=1.$$​ Kehrbruch auflösen:

$$=(5x^2-5) \cdot \frac{2x}{5x+5}$$​​

Kürzen:

$$=(x^2-1) \cdot \frac{2x}{x+1}$$​​

Anwenden der 3. Binomischen Formel:

$$=\frac{(x-1)(x+1)2x}{x+1}$$​​

Nochmal kürzen und vereinfachen:

$$=(x-1)2x=\underline{2x^2-2x}$$

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