Doppelbrüche vereinfachen & zusammenrechnen

Bruchterme vereinfachen

Vorgehen

1.

Zähler und Nenner faktorisieren (in dieser Reihenfolge):

I. Ausklammern

II. Binomische Formeln

III. Zweiklammeransatz

2.

Brüche kürzen.

3.

Term wie gewohnt zusammenrechnen.

Beispiel:

$\frac{x+6}{x^2+5x-14}+\frac{2-x}{x^2-4x+4}$

Faktorisieren (Zweiklammeransatz mit $a=7$ und $b=-2$ für den ersten Bruch und die 2. Binomische Formel für den zweiten Bruch):

$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{2-x}{(x-2)(x-2)}=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-(x-2)}{(x-2)(x-2)}$ 

Kürzen:

$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1}{(x-2)}$ 

Brüche gleichnamig machen:

$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1(x+7)}{(x-2)(x+7)}$

Klammern ausrechnen:

$=\frac{x+6-x-7}{(x+7)(x-2)}$ 

Terme zusammenfassen:

$\underline{\frac{-1}{(x+7)(x-2)}}$ 

Auflösen von Doppelbrüchen

Einen Doppelbruch nennt man einen Bruch, welcher einen weiteren Bruch im Nenner, Zähler oder beiden hat.

Vereinfache den Bruch durch den Kehrbruch:

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Beispiel 1

$\frac{\frac{3}{x}}{\frac{5}{y}}=\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{5}= \underline{\frac{3y}{5x}}$ 

Beispiel 2

$\frac{\frac{x^2+14x+49}{10}}{\frac{x^2-49}{35-5x}}$ 

Kehrbruch:

$=\frac{x^2+14x+49}{10} \cdot \frac{35-5x}{x^2-49}$ 

Terme faktorisieren:

$= \frac{(x+7)(x+7)}{10} \cdot \frac{5(7-x)}{(x+7)(x-7)}= \frac{(x+7)(x+7)}{10} \cdot \frac{-5(x-7)}{(x+7)(x-7)}$ 

Kürzen:

$=\frac{(x+7)(-1)}{2}$ 

Bruch vereinfachen:

$=\underline{-\frac{(x+7)}{2}}$ 

Man kann Doppelbrüche auch nach dem Schema kürzen, wenn an einer der Stellen eine 1 steht:

Beispiel 3

$\frac{5x^2-5}{\frac{5x+5}{2x}}$

In diesem Fall ist $b=1.$ Kehrbruch auflösen:

$=(5x^2-5) \cdot \frac{2x}{5x+5}$ 

Kürzen:

$=(x^2-1) \cdot \frac{2x}{x+1}$ 

Anwenden der 3. Binomischen Formel:

$=\frac{(x-1)(x+1)2x}{x+1}$ 

Nochmal kürzen und vereinfachen:

$=(x-1)2x=\underline{2x^2-2x}$