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Erklärvideo

Lehrperson: Luca

Zusammenfassung


Doppelbrüche vereinfachen & zusammenrechnen

Bruchterme vereinfachen

Vorgehen

1.

Zähler und Nenner faktorisieren (in dieser Reihenfolge):

                     I.            Ausklammern

                   II.            Binomische Formeln

                  III.            Zweiklammeransatz

2.

Brüche kürzen.

3.

Term wie gewohnt zusammenrechnen.


Beispiel:

x+6x2+5x−14+2−xx2−4x+4\frac{x+6}{x^2+5x-14}+\frac{2-x}{x^2-4x+4}x2+5x−14x+6​+x2−4x+42−x​


​

Faktorisieren (Zweiklammeransatz mit a=7a=7a=7​  und b=−2b=-2b=−2  für den ersten Bruch und die 2. Binomische Formel für den zweiten Bruch):


=x+6(x+7)(x−2)+2−x(x−2)(x−2)=x+6(x+7)(x−2)+−(x−2)(x−2)(x−2)=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{2-x}{(x-2)(x-2)}=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-(x-2)}{(x-2)(x-2)}=(x+7)(x−2)x+6​+(x−2)(x−2)2−x​=(x+7)(x−2)x+6​+(x−2)(x−2)−(x−2)​​​

Kürzen:


=x+6(x+7)(x−2)+−1(x−2)=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1}{(x-2)}=(x+7)(x−2)x+6​+(x−2)−1​​​


Brüche gleichnamig machen:


=x+6(x+7)(x−2)+−1(x+7)(x−2)(x+7)=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1(x+7)}{(x-2)(x+7)}=(x+7)(x−2)x+6​+(x−2)(x+7)−1(x+7)​


​Klammern ausrechnen:


=x+6−x−7(x+7)(x−2)=\frac{x+6-x-7}{(x+7)(x-2)}=(x+7)(x−2)x+6−x−7​​​


Terme zusammenfassen:

−1(x+7)(x−2)‾\underline{\frac{-1}{(x+7)(x-2)}}(x+7)(x−2)−1​​​​

​

​​

​

​

Auflösen von Doppelbrüchen

Einen Doppelbruch nennt man einen Bruch, welcher einen weiteren Bruch im Nenner, Zähler oder beiden hat.


Vereinfache den Bruch durch den Kehrbruch:


abcd=ab:cd=ab⋅dc=adbc\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}dc​ba​​=ba​:dc​=ba​⋅cd​=bcad​​​



Beispiel 1

3x5y=3x⋅y5=3y5x‾\frac{\frac{3}{x}}{\frac{5}{y}}=\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{5}= \underline{\frac{3y}{5x}}y5​x3​​=x3​⋅5y​=5x3y​​​




Beispiel 2

x2+14x+4910x2−4935−5x\frac{\frac{x^2+14x+49}{10}}{\frac{x^2-49}{35-5x}}35−5xx2−49​10x2+14x+49​​​

Kehrbruch:


=x2+14x+4910⋅35−5xx2−49=\frac{x^2+14x+49}{10} \cdot \frac{35-5x}{x^2-49}=10x2+14x+49​⋅x2−4935−5x​​​


Terme faktorisieren:


=(x+7)(x+7)10⋅5(7−x)(x+7)(x−7)=(x+7)(x+7)10⋅−5(x−7)(x+7)(x−7)= \frac{(x+7)(x+7)}{10} \cdot \frac{5(7-x)}{(x+7)(x-7)}= \frac{(x+7)(x+7)}{10} \cdot \frac{-5(x-7)}{(x+7)(x-7)}=10(x+7)(x+7)​⋅(x+7)(x−7)5(7−x)​=10(x+7)(x+7)​⋅(x+7)(x−7)−5(x−7)​​​


Kürzen:


=(x+7)(−1)2=\frac{(x+7)(-1)}{2}=2(x+7)(−1)​​​


Bruch vereinfachen:


=−(x+7)2‾=\underline{-\frac{(x+7)}{2}}=−2(x+7)​​​​



Man kann Doppelbrüche auch nach dem Schema kürzen, wenn an einer der Stellen eine 1 steht:


Beispiel 3

5x2−55x+52x\frac{5x^2-5}{\frac{5x+5}{2x}}2x5x+5​5x2−5​​​


In diesem Fall ist  b=1.b=1.b=1.​ Kehrbruch auflösen:


=(5x2−5)⋅2x5x+5=(5x^2-5) \cdot \frac{2x}{5x+5}=(5x2−5)⋅5x+52x​​​


Kürzen:


=(x2−1)⋅2xx+1=(x^2-1) \cdot \frac{2x}{x+1}=(x2−1)⋅x+12x​​​


Anwenden der 3. Binomischen Formel:


=(x−1)(x+1)2xx+1=\frac{(x-1)(x+1)2x}{x+1}=x+1(x−1)(x+1)2x​​​


Nochmal kürzen und vereinfachen:


=(x−1)2x=2x2−2x‾=(x-1)2x=\underline{2x^2-2x}=(x−1)2x=2x2−2x​


​

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Termumformungen Punktrechnung und Potenz

Teil 1

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Termumformungen Strichrechnung und Klammern

Teil 2

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Variablen in Termen: Vorgehen & Rechenregeln

Teil 3

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Zweiklammeransatz: Definition & Beispiel

Teil 4

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Binomische und trinomische Formeln

Teil 5

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Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

Teil 6

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Faktorisieren: Definition & Vorgehen

Teil 7

Faktorisieren: Definition & Vorgehen

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Doppelbrüche vereinfachen & zusammenrechnen

Teil 8

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich Bruchterme vereinfachen?

Faktorisiere Nenner und Zähler, indem Du erst ausklammerst, dann die binomische Formel und dann den Zweiklammeransatz anwendest.

Wie vereinfache ich einen Doppelbruch?

Vereinfache einen Doppelbruch, indem Du den Bruch im Zähler mit dem Kehrbruch aus dem Nenner multiplizierst.

Was ist ein Doppelbruch?

Ein Doppelbruch ist ein Bruch, der einen weiteren Bruch im Nenner, Zähler oder beidem hat.

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