Irrationale Exponenten: Definition & Beispiel

Motivation

Da klar definiert wurde, was es bedeutet, rationale Exponenten einer Zahl zu berechnen:

$x^{\frac a b }=\sqrt[b]{x^a},\qquad a,b \in \mathbb{Z}, x\in\mathbb{R}$

Es stellt sich nun die Frage, was es bedeutet, wenn der Exponent als irrationale Zahl wie zum Beispiel $\sqrt2=1{,}41421356\,...$ definiert ist. Natürlich bedeutet das nicht, dass Du $x\,\,\sqrt2$ -mal mit sich selbst multiplizierst, denn das ist weder klar definiert noch irgendwie vorstellbar.

Definition

Es wird für die irrationale Zahl $i \in\mathbb{R} / \mathbb{Q}$ folgendes definiert: die $i$ -te Potenz von $x\in\mathbb{R}$ , als Grenzwert $n \rightarrow \infty$ der Folge $f_n$ , sodass:

$\lim_{n\rightarrow\infty} f_n=x^i$

Beispiel

Die $\sqrt2$ -te Potenz der Zahl $2$ , also $2^{\sqrt2}$ ist somit definiert als Grenzwert ( $n\rightarrow\infty$ ) der Folge $f_n$ :

$f_1=2^{1{,}4}=2^{\frac{14}{10}}=2^{\frac75}\approx2{,}63902\\f_2=2^{1{,}41}=2^{\frac{141}{100}}\approx2{,}65737\\f_3=2^{1{,}414}=2^{\frac{1414}{1000}}=2^{\frac{707}{500}}\approx2{,}66475\\f_4=2^{1{,}4142}=2^{\frac{14142}{10000}}=2^{\frac{7071}{5000}}\approx2{,}66512\\...\\2^{\sqrt2}=2{,}66514\,...$

Hinweis:

Die Folge konvergiert und ist wohldefiniert, da jedes beliebige Element $f_n$ wohldefiniert ist (nur rationale Exponenten), die Folge stetig wächst und nie größer wird als $2^{\sqrt2}$ .