Irrationale Exponenten: Definition & Beispiel

Motivation

Da klar definiert wurde, was es bedeutet, rationale Exponenten einer Zahl zu berechnen:

$$x^{\frac a b }=\sqrt[b]{x^a},\qquad a,b \in \mathbb{Z}, x\in\mathbb{R}$$​​

Es stellt sich nun die Frage, was es bedeutet, wenn der Exponent als irrationale Zahl wie zum Beispiel $$\sqrt2=1{,}41421356\,...$$​  definiert ist. Natürlich bedeutet das nicht, dass Du $$x\,\,\sqrt2$$​ -mal mit sich selbst multiplizierst, denn das ist weder klar definiert noch irgendwie vorstellbar.

Definition

Es wird für die irrationale Zahl $$i \in\mathbb{R} / \mathbb{Q}$$​  folgendes definiert: die $$i$$​ -te Potenz von $$x\in\mathbb{R}$$​ , als Grenzwert $$n \rightarrow \infty$$​  der Folge $$f_n$$​ , sodass:

$$\lim_{n\rightarrow\infty} f_n=x^i$$

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Beispiel

Die $$\sqrt2$$​ -te Potenz der Zahl $$2$$​ , also $$2^{\sqrt2}$$​  ist somit definiert als Grenzwert ($$n\rightarrow\infty$$​ ) der Folge $$f_n$$​ :

$$f_1=2^{1{,}4}=2^{\frac{14}{10}}=2^{\frac75}\approx2{,}63902\\f_2=2^{1{,}41}=2^{\frac{141}{100}}\approx2{,}65737\\f_3=2^{1{,}414}=2^{\frac{1414}{1000}}=2^{\frac{707}{500}}\approx2{,}66475\\f_4=2^{1{,}4142}=2^{\frac{14142}{10000}}=2^{\frac{7071}{5000}}\approx2{,}66512\\...\\2^{\sqrt2}=2{,}66514\,...$$​​

Hinweis:

Die Folge konvergiert und ist wohldefiniert, da jedes beliebige Element $$f_n$$​  wohldefiniert ist (nur rationale Exponenten), die Folge stetig wächst und nie größer wird als $$2^{\sqrt2}$$​.