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Mathematik

Exponentialfunktion

Irrationale Exponenten: Definition & Beispiel

Irrationale Exponenten: Definition & Beispiel

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Lehrperson: Laurent

Zusammenfassung

Irrationale Exponenten: Definition & Beispiel

Motivation

Da klar definiert wurde, was es bedeutet, rationale Exponenten einer Zahl zu berechnen:

xab=xab,a,bZ,xRx^{\frac a b }=\sqrt[b]{x^a},\qquad a,b \in \mathbb{Z}, x\in\mathbb{R}​​


Es stellt sich nun die Frage, was es bedeutet, wenn der Exponent als irrationale Zahl wie zum Beispiel 2=1,41421356 ...\sqrt2=1{,}41421356\,...  definiert ist. Natürlich bedeutet das nicht, dass Du x 2x\,\,\sqrt2 -mal mit sich selbst multiplizierst, denn das ist weder klar definiert noch irgendwie vorstellbar.



Definition

Es wird für die irrationale Zahl iR/Qi \in\mathbb{R} / \mathbb{Q}  folgendes definiert: die ii -te Potenz von xRx\in\mathbb{R} , als Grenzwert nn \rightarrow \infty  der Folge fnf_n , sodass:


limnfn=xi\lim_{n\rightarrow\infty} f_n=x^i


​​

Beispiel

Die 2\sqrt2 -te Potenz der Zahl 22 , also 222^{\sqrt2}  ist somit definiert als Grenzwert (nn\rightarrow\infty ) der Folge fnf_n :


f1=21,4=21410=2752,63902f2=21,41=21411002,65737f3=21,414=214141000=27075002,66475f4=21,4142=21414210000=2707150002,66512...22=2,66514 ... f_1=2^{1{,}4}=2^{\frac{14}{10}}=2^{\frac75}\approx2{,}63902\\f_2=2^{1{,}41}=2^{\frac{141}{100}}\approx2{,}65737\\f_3=2^{1{,}414}=2^{\frac{1414}{1000}}=2^{\frac{707}{500}}\approx2{,}66475\\f_4=2^{1{,}4142}=2^{\frac{14142}{10000}}=2^{\frac{7071}{5000}}\approx2{,}66512\\...\\2^{\sqrt2}=2{,}66514\,...​​


Hinweis:

Die Folge konvergiert und ist wohldefiniert, da jedes beliebige Element fnf_n  wohldefiniert ist (nur rationale Exponenten), die Folge stetig wächst und nie größer wird als 222^{\sqrt2}.

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich die irrationale Potenz einer Zahl berechnen?

Was ist ein Beispiel für eine irrationale Zahl?

Wie sind Irrationale Zahlen definiert?

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