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Irrationale Exponenten: Definition & Beispiel

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Erklärvideo

Lehrperson: Laurent

Zusammenfassung

Irrationale Exponenten: Definition & Beispiel

Motivation

Da klar definiert wurde, was es bedeutet, rationale Exponenten einer Zahl zu berechnen:

xab=xab,a,b∈Z,x∈Rx^{\frac a b }=\sqrt[b]{x^a},\qquad a,b \in \mathbb{Z}, x\in\mathbb{R}xba​=bxa​,a,b∈Z,x∈R​​


Es stellt sich nun die Frage, was es bedeutet, wenn der Exponent als irrationale Zahl wie zum Beispiel 2=1,41421356 ...\sqrt2=1{,}41421356\,...2​=1,41421356...​  definiert ist. Natürlich bedeutet das nicht, dass Du x 2x\,\,\sqrt2x2​​ -mal mit sich selbst multiplizierst, denn das ist weder klar definiert noch irgendwie vorstellbar.



Definition

Es wird für die irrationale Zahl i∈R/Qi \in\mathbb{R} / \mathbb{Q}i∈R/Q​  folgendes definiert: die iii​ -te Potenz von x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R​ , als Grenzwert n→∞n \rightarrow \inftyn→∞​  der Folge fnf_nfn​​ , sodass:


lim⁡n→∞fn=xi\lim_{n\rightarrow\infty} f_n=x^in→∞lim​fn​=xi


​​

Beispiel

Die 2\sqrt22​​ -te Potenz der Zahl 222​ , also 222^{\sqrt2}22​​  ist somit definiert als Grenzwert (n→∞n\rightarrow\inftyn→∞​ ) der Folge fnf_nfn​​ :


f1=21,4=21410=275≈2,63902f2=21,41=2141100≈2,65737f3=21,414=214141000=2707500≈2,66475f4=21,4142=21414210000=270715000≈2,66512...22=2,66514 ... f_1=2^{1{,}4}=2^{\frac{14}{10}}=2^{\frac75}\approx2{,}63902\\f_2=2^{1{,}41}=2^{\frac{141}{100}}\approx2{,}65737\\f_3=2^{1{,}414}=2^{\frac{1414}{1000}}=2^{\frac{707}{500}}\approx2{,}66475\\f_4=2^{1{,}4142}=2^{\frac{14142}{10000}}=2^{\frac{7071}{5000}}\approx2{,}66512\\...\\2^{\sqrt2}=2{,}66514\,...f1​=21,4=21014​=257​≈2,63902f2​=21,41=2100141​≈2,65737f3​=21,414=210001414​=2500707​≈2,66475f4​=21,4142=21000014142​=250007071​≈2,66512...22​=2,66514...​​


Hinweis:

Die Folge konvergiert und ist wohldefiniert, da jedes beliebige Element fnf_nfn​​  wohldefiniert ist (nur rationale Exponenten), die Folge stetig wächst und nie größer wird als 222^{\sqrt2}22​​.

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich die irrationale Potenz einer Zahl berechnen?

Indem du den Grenzwert einer Folge von Potenzen bildest, welche als Exponenten rationale Zahlen haben, die sich dem irrationalen Exponenten annähern.

Was ist ein Beispiel für eine irrationale Zahl?

Ein Beispiel einer irrationalen Zahl ist die Quadratwurzel von 2.

Wie sind Irrationale Zahlen definiert?

Irrationale Zahlen sind Zahlen, deren Dezimaldarstellung unendlich und nicht-periodisch ist.

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