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Erklärvideo

Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Logarithmusterme: Rechenregeln & Beispiele

Rechenregeln

Übersicht


Multiplikation​

loga⁡(x⋅y)=loga⁡x+loga⁡ylog_a⁡(x\cdot y)=log_a ⁡x+log_a ⁡yloga​⁡(x⋅y)=loga​⁡x+loga​⁡y​​

Division

​loga(x÷y)=loga(xy)=logax−logaylog_a(x \div y)=log_a(\frac{x}{y})=log_ax-log_ayloga​(x÷y)=loga​(yx​)=loga​x−loga​y​​

Potenz

​loga(xr)=r⋅loga(x)log_a(x^r)=r\cdot log_a(x)loga​(xr)=r⋅loga​(x)​​

Wurzeln

​loga(xr)=loga(x1r)=loga(x)rlog_a(\sqrt[r]{x})=log_a(x^{\frac{1}{r}})=\frac{log_a(x)}{r}loga​(rx​)=loga​(xr1​)=rloga​(x)​​​

Log von 111​

​loga(1)=0log_a(1)=0loga​(1)=0​​

Log von Basis

​loga(a)=1loga(an)=nlog_a(a)=1\\log_a(a^n)=nloga​(a)=1loga​(an)=n​​



Logarithmusterme umwandeln

Logarithmusterme zusammenfassen

Das Ziel ist, den gegebenen Term so kurz wie möglich zu machen.


Vorgehen

1.

Schreibe die Faktoren und Teiler am Logarithmus als Potenzen im Logarithmus.

2.

Vereinfache die Terme im Logarithmus.

3.

Fasse die einzelnen Logarithmen zusammen und vereinfache erneut.

Hinweis: Um eine Addition oder Subtraktion in einen einzelnen Logarithmus umzuwandeln, müssen beide Terme dieselbe Basis haben.



Beispiel


loga(27)3−2⋅loga(3)\frac{log_a(27)}{3}-2\cdot log_a(3)3loga​(27)​−2⋅loga​(3)​​


Innerhalb des Logarithmus:


​=loga(2713)−loga(32)=log_a(27^{\frac{1}{3}})-log_a(3^2)=loga​(2731​)−loga​(32)​​​


Vereinfache​


​loga(3)−loga(9)log_a(3)-log_a(9)loga​(3)−loga​(9)​​


Fasse zusammen:


​loga(39)log_a(\frac{3}{9})loga​(93​)​​


Vereinfache:


loga(13)‾\underline{log_a(\frac{1}{3})}loga​(31​)​​​


Logarithmusterme auftrennen

Das Ziel ist, den Logarithmus als Summe oder Produkt einfacherer Logarithmen zu schreiben.


Vorgehen

1.

Wandle Multiplikation und Division im Logarithmus um zu Addition oder Subtraktion von mehreren Logarithmen.

2.

Schreibe Potenzen innerhalb des Logarithmus als Faktoren und Teiler am Logarithmus.

Tipp: Notiere eine Wurzel als Potenz.

3.

Vereinfache falls möglich jeden Logarithmus.



Beispiel


​logx(x3yz)log_x(\frac{x^3y}{\sqrt z})logx​(z​x3y​)​​


1.        Trenne den Logarithmus:


​=logx(x3)+logx(y)−logx(z12)=log_x(x^3)+log_x(y)-log_x(z^{\frac{1}{2}})=logx​(x3)+logx​(y)−logx​(z21​)​​


2.      Nimm die Potenzen heraus:


​=3⋅logx(x)+logx(y)−12⋅loxx(z)=3\cdot log_x(x)+log_x(y)-\frac{1}{2}\cdot lox_x(z)=3⋅logx​(x)+logx​(y)−21​⋅loxx​(z)​​


3.      Vereinfache:


​=3⋅1+logx(y)−12⋅logx(z)=3+logx(y)−12⋅logx(z)‾=3\cdot 1 + log_x(y)- \frac12 \cdot log_x(z)=\underline{3+log_x(y)-\frac12 \cdot log_x(z)}=3⋅1+logx​(y)−21​⋅logx​(z)=3+logx​(y)−21​⋅logx​(z)​​​




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Lerne mit Grundlagen

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Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Teil 1

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie vereinfache ich Logarithmen?

Nutze die Rechenregeln zur Multiplikation/Division im Logarithmus und zu Potenzen und Wurzeln im Logarithmus, um die Terme zu vereinfachen.

Was ist der log 1?

Der log(1) ist unabhängig von der Basis immer 0.

Was ist der log_a(a)?

Der Logarithmus von der Basis ist immer 1. log_a(a) = 1

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