Logarithmusterme: Rechenregeln & Beispiele

Rechenregeln

Multiplikation	$log_a⁡(x\cdot y)=log_a ⁡x+log_a ⁡y$
Division	$log_a(x \div y)=log_a(\frac{x}{y})=log_ax-log_ay$
Potenz	$log_a(x^r)=r\cdot log_a(x)$
Wurzeln	$log_a(\sqrt[r]{x})=log_a(x^{\frac{1}{r}})=\frac{log_a(x)}{r}$
Log von $1$	$log_a(1)=0$
Log von Basis	$log_a(a)=1\\log_a(a^n)=n$

Das Ziel ist, den gegebenen Term so kurz wie möglich zu machen.

1.

Schreibe die Faktoren und Teiler am Logarithmus als Potenzen im Logarithmus.

2.

Vereinfache die Terme im Logarithmus.

3.

Fasse die einzelnen Logarithmen zusammen und vereinfache erneut.

Hinweis: Um eine Addition oder Subtraktion in einen einzelnen Logarithmus umzuwandeln, müssen beide Terme dieselbe Basis haben.

$\frac{log_a(27)}{3}-2\cdot log_a(3)$

Innerhalb des Logarithmus:

$=log_a(27^{\frac{1}{3}})-log_a(3^2)$

Vereinfache

$log_a(3)-log_a(9)$

Fasse zusammen:

$log_a(\frac{3}{9})$

Vereinfache:

$\underline{log_a(\frac{1}{3})}$

Das Ziel ist, den Logarithmus als Summe oder Produkt einfacherer Logarithmen zu schreiben.

1.

Wandle Multiplikation und Division im Logarithmus um zu Addition oder Subtraktion von mehreren Logarithmen.

2.

Schreibe Potenzen innerhalb des Logarithmus als Faktoren und Teiler am Logarithmus.

Tipp: Notiere eine Wurzel als Potenz.

3.

Vereinfache falls möglich jeden Logarithmus.

$log_x(\frac{x^3y}{\sqrt z})$

1. Trenne den Logarithmus:

$=log_x(x^3)+log_x(y)-log_x(z^{\frac{1}{2}})$

2. Nimm die Potenzen heraus:

$=3\cdot log_x(x)+log_x(y)-\frac{1}{2}\cdot lox_x(z)$

3. Vereinfache:

$=3\cdot 1 + log_x(y)- \frac12 \cdot log_x(z)=\underline{3+log_x(y)-\frac12 \cdot log_x(z)}$