Allgemeine trigonometrische Funktion

Allgemeine Form

Aus dem Graphen der Sinus-Funktion lassen sich durch Streckungen, Stauchungen und Verschiebungen des Graphen sowohl in $$x$$​ - als auch in $$y$$​ -Richtung neue Funktionen erhalten. Diese werden mathematisch beschrieben durch die allgemeine Formel der Sinus-Funktion.

​$$f(x)=a \cdot \sin(b\cdot (x-c))+d$$

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Die Prozedur lässt sich äquivalent auch auf die Kosinus-Funktion anwenden, doch in dieser Zusammenfassung sollen die Veränderungen nur am Beispiel des Sinus gezeigt werden.

Streckung in $$y$$​ -Richtung

Der Parameter $$a$$​  sorgt für eine Streckung bzw. Stauchung der Funktion in $$y-$$​ Richtung. Dabei treten verschiedene Situationen auf ($$a>0$$): :

Die Zahl $$A=|a|$$​  heißt Amplitude der Sinusfunktion.

Anmerkung: Der Betrag einer Zahl entspricht der Zahl selbst, wenn diese positiv ist, oder dreht das Vorzeichen von $$-$$​ zu $$+$$​ um, falls die Zahl negativ ist.

Spiegelung an $$x$$​ -Achse

Zu einer Spiegelung des Graphen an der x-Achse kommt es, wenn $$a<0$$​  ist. Äquivalent zu vorher: Für $$-a>1$$​  wird der Graph gestreckt und für $$0<-a<1$$​   wird der Graph der Funktion gestaucht.

Verschiebung in $$y$$​ -Richtung

Der Parameter $$d$$​  entscheidet über die Verschiebung des Graphen entlang der $$y$$​ -Achse.

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Verschiebung in $$x$$​ -Richtung

Der Parameter$$c$$​  entscheidet über die Verschiebung des Graphen entlang der $$x$$​ -Achse. Man spricht hier auch von einer „Phasenverschiebung“.

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Streckung in $$x$$​ -Richtung

Bei Streckungen entlang der $$y$$​ -Achse, Spiegelungen und Verschiebungen der Funktion in $$x$$​ - oder $$y$$​ -Richtung bleibt der Abstand zwischen zwei Minima oder zwischen zwei Nullstellen stets gleich. Bei Stauchungen und Streckungen entlang der $$x$$​-Achse ist dies nicht mehr der Fall.

Der Parameter $$b$$​  beschreibt die Streckung entlang der $$x$$​ -Richtung.

Anmerkung: 

Der Parameter b kann auch als Frequenz betrachtet werden, da Töne auch mit Sinusfunktionen beschrieben werden. Für große b, also hohe Frequenzen, erhält man hohe Töne und für kleine b, also niedrige Frequenzen, bekommt man niedrige Töne.

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Beispiel:

Im Folgenden ist der Graph einer allgemeinen trigonometrischen (Sinus-) Funktion gegeben (dunkel). Man soll die Funktionsgleichung bestimmen, indem man den Graphen mit dem der Funktion $$g(x)=\sin(x)$$​  (hell) vergleicht.

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Der minimale Wert, den der Graph erreicht, liegt bei $$-1$$​ , und der maximale Wert bei $$2$$​ . Der Sinus schwankt also zwischen zwei Zahlen, die um $$3$$​  auseinanderliegen. Der Graph von $$g(x)$$​  schwankt nur zwischen zwei Zahlen, die um $$2$$​  auseinander liegen, daher ist $$f(x)$$​  verglichen mit $$g(x)$$​  um $$1,5$$​  gestreckt, also ist $$a=1,5$$​ .

Der mittlere Wert von $$f(x)$$​  liegt bei $$0,5$$, das heißt, dass $$f(x)$$ gegenüber $$g(x)$$ um $$0,5$$ nach oben geschoben wurde. Daher ist $$d=0,5$$.

Die Minima von $$f(x)$$​  sind gegenüber denen von $$g(x)$$​  um $$1$$​  nach rechts verschoben, daher ist $$c=1$$​ .

Die Minima haben immer denselben Abstand zueinander, also ist $$b=1$$​  Die Funktionsgleichung ist also:

$$\underline{f(x)=1,5 \cdot \sin(x-1)+0,5}$$​​

Beispiel:

Im Folgenden soll man den Graphen der Funktion $$f(x)=3 \cdot \sin(2x)+1$$ zeichnen.

Dazu geht man am besten von dem Graphen von $$g(x)=\sin(x)$$​  aus und zeichnet dann die Lage der Extrema der neuen Funktion ein. Da $$d=1$$​  ist, ist der gesamte Graph um $$1$$​  nach oben verschoben. Außerdem ist der Graph um 3 gestreckt, weil $$d=3$$​  ist. Daher sind alle Maxima um 3 höher als bei  und alle Minima um 1 niedriger als bei $$g(x)$$​ .

Durch $$b=2$$​  kommt es außerdem zur Stauchung des Graphen. Daher sind die Minima nur noch halb so weit voneinander entfernt wie bei $$g(x)$$​ , also ist das erste Maximum bei $$x=\frac{\pi}{4}$$​  das zweite bei $$x=\frac{\pi}{2}$$​ , das dritte bei $$x=\frac{3 \pi}{4}$$,... , …

Damit ergibt sich folgender Graph: