Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Geradengleichung

Eine Geradengleichung wird in der analytischen Geometrie mithilfe von Vektoren wie folgt dargestellt:

$g:\overrightarrow x = \overrightarrow p + t \cdot \overrightarrow u , t\in\mathbb{R}$

Hierbei haben die einzelnen Vektoren und Parameter folgende Bedeutungen:

$\overrightarrow p$

„Stützvektor“: Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden.

$\overrightarrow u$

„Richtungsvektor“: Beliebiger Vektor in Richtung der Geraden.

$t$

„Streckfaktor“: Verlängert oder verkürzt den Richtungsvektor beliebig.

Der Stützvektor $\overrightarrow p$ ist ein beliebiger Punkt, der sich auf der Geraden befindet. Der Richtungsvektor $\overrightarrow u$ gibt an, in welcher Richtung sich ausgehend von $\overrightarrow p$ alle weiteren Punkte auf der Geraden befinden. Dadurch, dass $t$ jede beliebe reelle Zahl sein kann, wird sichergestellt, dass auch alle weiteren Punkte auf der Geraden mathematisch von der Geradengleichung definiert sind.

Anschaulich sieht die geometrische Situation wie folgt aus. Die Gerade ist hierbei mit einer gestrichelten Linie dargestellt und $0$ ist der Nullpunkt im Koordinatensystem.

Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Bedeutung

Mit Veränderung des Streckfaktors $t$ kann man jeden Punkt auf der Geraden beschreiben. Dies wird in der Skizze rechts exemplarisch anhand der Vektoren $\overrightarrow {x_{t=1}}$ und $\overrightarrow {x_{t=3}}$ , die zu den Richtungsvektoren $\overrightarrow u$ und $\overrightarrow 3u$ gehören, verdeutlicht.

Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Hinweis: Im Gegensatz zu einer Geraden aus der Analysis gibt es in der analytischen Geometrie unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Gerade. Dies hat folgende Gründe:

Jeder Punkt auf der Geraden kann ein Stützvektor $\overrightarrow p$ sein.
Jeder Vektor in Richtung der Geraden kann ein Richtungsvektor $\overrightarrow u$ sein.

Die Richtungsvektoren darf man somit mit einem beliebigen Faktor verlängern oder verkürzen. Meist versucht man möglichst kleine, ganzzahlige Einträge zu erhalten, sofern dies möglich ist.

Geraden im Zweidimensionalen

Im Zweidimensionalen gibt es zwei Darstellungsformen einer Geraden. Diese lauten:

Parameterform

$g:\overrightarrow x =\overrightarrow p + t \cdot \overrightarrow u =\begin {pmatrix} p_x\\p_y\end {pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}, \ \ t\in\mathbb{R}$

Koordinatenform

$g:ax+by=c\\g: \underbrace{ \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}}_{\overrightarrow n }\cdot\begin {pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=c$

$\overrightarrow n$ ist senkrecht zu $\overrightarrow u$ aus der Parameterform. Man nennt $\overrightarrow u$ auch Normalenvektor.

Beide Formen beschreiben dieselbe Gerade.

Hinweis: Die Koordinatenform einer Geraden existiert ausschließlich im Zweidimensionalen!

Geraden im Dreidimensionalen

Im Dreidimensionalen gibt es nur eine Darstellungsform einer Geraden. Diese lautet:

Parameterform

$g:\overrightarrow x =\overrightarrow p + t \cdot \overrightarrow u =\begin {pmatrix} p_x\\p_y\\p_z\end {pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix}, \ \ t\in\mathbb{R}$

Prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt

Gelegentlich wird dir die Aufgabe gestellt, zu überprüfen, ob ein Punkt A auf einer Geraden liegt.

Dies kannst du folgendermaßen überprüfen:

VORGEHEN

1.

$\overrightarrow {0A}$ in die Geradengleichung an Stelle von $\overrightarrow x$ einsetzen

$g:\overrightarrow {0A} = \overrightarrow p + t \cdot \overrightarrow u$

$\begin {pmatrix} a_x\\a_y\\a_z\end {pmatrix}=\begin {pmatrix} p_x\\p_y\\p_z\end {pmatrix}+t\cdot \begin {pmatrix} u_x\\u_y\\u_z\end {pmatrix}$

2.

Komponentenweise überprüfen, ob sich für jede Koordinate derselbe Streckfaktor t ergibt.

Ist t für jede Koordinate gleich, liegt der Punkt auf der Geraden, andernfalls nicht.

Beispiel

Überprüfe, ob der Punkt A(5|7|5) auf der Geraden $g:\overrightarrow x = \begin{pmatrix} 1\\5\\7\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$  liegt.

Einsetzen für die x-Koordinate: $5=1+t\cdot 2 \rightarrow t=2$ 

Einsetzen für die y-Koordinate: $7=5+t\cdot 1 \rightarrow t=2$ 

Einsetzen für die z-Koordinate: $5=7+t\cdot (-1) \rightarrow t=2$ 

Da der Streckfaktor t in jeder Vektorkomponente gleich ist, liegt der Punkt A auf der Geraden g.

Geraden aufstellen

Anhand von zwei Punkten

Sind die Koordinaten zweier Punkte A und B auf einer Geraden bekannt, so kann man aus den Punkten folgendermaßen die Geradengleichung aufstellen:

VORGEHEN

1.

Verbindungsvektor von A und B berechnen.

$\overrightarrow {AB} = \begin{pmatrix} b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}$

2.

Gerade aufstellen:

Stützvektor: $\overrightarrow p = \overrightarrow {0A}$ oder $\overrightarrow {0A}$

Richtungsvektor: $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB}$

Beispiel

Gegeben: $A(2|4|1)$ und $\ B(3|2|2)$ 

Verbindungsvektor:

$\overrightarrow {AB} = \begin{pmatrix} 3-2\\2-4\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-2\\1\end{pmatrix}$ 

Geradengleichung:

$g:\overrightarrow x =\overrightarrow p + t \cdot \overrightarrow u =\begin {pmatrix}2\\4\\1\end {pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \ \ t\in\mathbb{R}$ 

Vorgehen, wenn der Richtungsvektor und ein Punkt gegeben sind

Oftmals wird dir ein Punkt A angegeben, der auf der Geraden liegt, und ein Vektor $\overrightarrow v$ , der in Richtung der Geraden liegt.

Damit kann man die Geradengleichung direkt aufstellen: Der Stützvektor ist $\overrightarrow p = \overrightarrow {0A}$ und $\overrightarrow v$ kann als Richtungsvektor benutzt werden.

Beispiel

Gegeben: $A\left(2|3|1\right)$ und $\overrightarrow v =\begin {pmatrix}1\\3\\-2\end {pmatrix}$ 

Die Geradengleichung lautet somit:

$g:\overrightarrow x =\overrightarrow p + t \cdot \overrightarrow u =\begin {pmatrix}2\\3\\1\end {pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}, \ \ t\in\mathbb{R}$ 