Periodische Prozesse: Definition & Darstellung

Definition

Ein periodischer Prozess ist ein vorhersehbarer und immer wiederkehrender Ablauf an Ereignissen. 

So beschreibt zum Beispiel die Position der Erde um die Sonne, oder die Bewegung einer Feder, oder eines Uhrzeigers einen periodischen Prozess.

Solche in der Natur vorkommenden Abläufe lassen sich alle mit der allgemeinen Sinusfunktion modellieren:

​$$y=a \cdot \sin(b(x+c))+d;\ \ \ a,b,c,d \in \R$$

​​

Dies ist ein einfaches Beispiel dafür, dass mathematische Modelle Prozesse im echten Leben akkurat modellieren können. Im Folgenden siehst Du zwei Beispiele, die dieses Konzept anwenden.

Beispiel 1:

Beschreibe die Auslenkung $$y$$​  (in cm) einer Feder aus ihrer Gleichgewichtslage 

($$y=0$$​ ) für eine beliebige Zeit $$t$$​ , wenn folgender Aufbau gegeben ist:

Nach Berücksichtig der Minima, Maxima und der einzelnen gegebenen Positionen und Zeitpunkten, wird klar, dass folgende Funktion die Auslenkung $$y$$  der Feder in cm nach einer gewissen Zeit $$t$$  beschreibt:

$$\underline{y=3 \cdot \sin(t)}$$​​

Beispiel 2:

Finde eine Formel, die für jede Minute ($$x$$​ ) beschreibt, wie viele Minuten-Markierungen der Minutenzeiger von der 12 am Ziffernblatt entfernt ist ($$y$$​ ).

Das Minimum ist also 0, nämlich wenn Minutenzeiger auf der 12 steht. Dahingegen ist das Maximum 30, nämlich wenn der Minutenzeiger auf der 6 steht. Wir müssen also den Sinus so skalieren, dass sein Maximum 30 wird, und sein Minimum 0.

Die Funktion:

$$\underline{y=15\cdot (\sin( \frac{x}{3 \pi}- \frac{\pi}{2} ) +1 ) }$$​​

erfüllt genau das gesuchte Verhalten. Durch Zeichen der Sinusfunktion wird auch sofort klar warum:

Die $$x$$​ -Achse repräsentiert die Anzahl vergangener Minuten, und die $$y$$ -Achse die Entfernung des Zeigers von der 12 (in Minutenmarkierungen auf dem Ziffernblatt).