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Erklärvideo

Lehrperson: David Schaurecker

Zusammenfassung

Monte-Carlo Verfahren: Definition & Anwendung

Das Monte-Carlo Verfahren ist ein Verfahren zur Näherung von Integralen, das auf Wahrscheinlichkeiten basiert. Im Folgenden wird es zur approximativen Berechnung der Kreiszahl π\piπ​ verwendet.


Definition

In einem Quadrat mit einbeschriebenem Viertelkreis und Seitenlänge 1 wird zufällig eine große Anzahl Punkte verteilt. Die Kreiszahl π\piπ​ kann nun durch die folgende Berechnung approximiert werden.


π4≈Anzahl Punkte im Viertelkreisgesammte Anzahl Punkte im Quadrat\frac{\pi}{4}\approx\frac{Anzahl\ Punkte\ im\ Viertelkreis}{gesammte\ Anzahl\ Punkte\ im\ Quadrat}4π​≈gesammte Anzahl Punkte im QuadratAnzahl Punkte im Viertelkreis​​​


Je mehr Punkte verwendet werden, desto genauer ist die Approximation. Das Gesetz der großen Zahlen garantiert, dass dieser Wert mit steigender Anzahl von Punkten im Quadrat auch tatsächlich gegen π\piπ​ konvergiert. 

Mathematik; Zufall und Simulation; 10. Klasse Gymnasium; Monte-Carlo Verfahren: Definition & Anwendung



Anwendung

VORGEHEN

1.

Generiere zufällig nnn​ Punkte aia_iai​​ in einem Quadrat mit Seitenlänge 1:

  • Zufallszahl zwischen 0 und 1 → x-Koordinate (xai{x_a}_ixa​i​​ )
  • Zufallszahl zwischen 0 und 1 → y-Koordinate (yai{y_a}_iya​i​​ )

2.

Berechne den Abstand dai{d_a}_ida​i​​ jedes Punktes zum Nullpunkt: dai=xai2+yai2{d_a}_i=\sqrt{x_{a_i}^2+y_{a_i}^2}da​i​=xai​2​+yai​2​​​

3.

Zähle die Anzahl der Punkte für welche dai≤1{d_a}_i\le1da​i​≤1​ gilt, nenne sie ppp​. (Punkte in der grauen Fläche)

4.

Berechne die Näherung:

π≈4⋅pn\pi\approx\frac{4\cdot p}{n}π≈n4⋅p​​​

                                        


              


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Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Herleitung der Integralrechnung

Teil 1

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Monte-Carlo Verfahren: Definition & Anwendung

Teil 2

Monte-Carlo Verfahren: Definition & Anwendung

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Ist das Monte-Carlo Verfahren genau?

Je mehr Punkte verwendet werden, desto genauer ist die Approximation. Das Gesetz der großen Zahlen garantiert, dass dieser Wert mit steigender Anzahl von Punkten im Quadrat auch tatsächlich gegen π konvergiert.

Wie kann man Pi mit dem Monte-Carlo Verfahren berechnen?

In einem Quadrat mit einbeschriebenem Viertelkreis und Seitenlänge 1 wird zufällig ein große Anzahl Punkte verteilt. Die Kreiszahl π kann nun durch die folgende Berechnung approximiert werden: π/4≈(Anzahl Punkte im Viertelkreis)/(gesammte Anzahl Punkte im Quadrat).

Wofür braucht man das Monte-Carlo Verfahren?

Das Monte-Carlo Verfahren ist ein Verfahren zur Näherung von Integralen, das auf Wahrscheinlichkeiten basiert. Man kann es auch zur approximativen Berechnung der Kreiszahl π verwenden.

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