Zweiersystem/Binärsystem verstehen & umrechnen

Definition

Neben dem im Alltag verwendeten Dezimalsystem mit den typischen Ziffern von $0$ bis $9$ gibt es noch weitere Stellenwertsysteme, um Zahlen zu schreiben und zu zählen. Eines davon ist das Binärsystem, welches nur die Ziffern $0$ und $1$ verwendet. Das Binärsystem findet in der Computer- und Digitaltechnik Anwendung, da man $0$ und $1$ sehr einfach durch Strom „aus“ oder „an“ repräsentieren kann.

Jedes Zahlensystem hat eine Basis b, die angibt, wie viele verschiedene Ziffern im Zahlensystem vorkommen. Eine Zahl besteht aus einer Kombination dieser Ziffern. Die Fußnote an einer Zahl gibt das verwendete Zahlensystem an.

	Basis $b$	Ziffern	Zahlen-Beispiele
ZWEIERSYSTEM (BINÄRSYSTEM)	$2$	$\{0;1\}$	$1011111_{(2)}$
DEZIMALSYSTEM (ZEHNERSYSTEM)	$10$	$\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$	$95_{(10)}$

Dezimalsystem

Der Wert einer Ziffer ist abhängig von der Stelle, an der sie steht. Steht eine $5$ an der Einerstelle, wird sie als $5$ geschrieben. Steht eine $5$ an der Hunderterstelle, wird sie als $500$ geschrieben, usw. Dabei sorgt die Basis $10$ für die Anzahl der Nullen der jeweiligen Stelle, denn zwischen jeder Stelle liegt der Faktor $10$ .

Mathematik; Natürliche Zahlen darstellen; 5. Klasse Gymnasium; Zweiersystem/Binärsystem verstehen & umrechnen

Binärsystem

Der Wert der Ziffer im Binärsystem ist ebenso abhängig davon, an welcher Stelle sie steht. Hier werden aber nur die Ziffern $1$ oder $0$ geschrieben. Dabei sorgt die Basis $2$ für den Wert der jeweiligen Stelle, denn zwischen jeder Stelle liegt der Faktor $2$ . Im Vergleich zum Dezimalsystem haben Zahlen also keine Einer-, Zehner-, Hunderter-, usw. Stellen, sondern Einer-, Zweier-, Vierer-, Achter-, usw. Stellen.

Mathematik; Natürliche Zahlen darstellen; 5. Klasse Gymnasium; Zweiersystem/Binärsystem verstehen & umrechnen

Umrechnung zwischen Zahlensystemen

Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Gegeben ist eine Zahl aus dem Binärsystem, die ins Dezimalsystem umgerechnet werden soll.

Vorgehen

1.	Schreibe die Zahl unter die Stellenwerttafel des Binärsystems.
2.	Multipliziere die Ziffer mit dem Wert der jeweiligen Stelle.
3.	Rechne die Ergebnisse zusammen.

Beispiel 1

$1010_{(2)}$ ins Dezimalsystem

Mathematik; Natürliche Zahlen darstellen; 5. Klasse Gymnasium; Zweiersystem/Binärsystem verstehen & umrechnen

Beispiel 2

$1001_{(2)}$ ins Dezimalsystem

$Z=8+0+0+1=\underline{9_{(10)}}$

Beispiel 3

$111_{(2)}$ ins Dezimalsystem

$Z=4+2+1=\underline{7_{(10)}}$

Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Gegeben ist eine Zahl aus dem Dezimalsystem, die ins Binärsystem umgerechnet werden soll.

Vorgehen

1.	Teile die Zahl durch die Basis $2$ und notiere das Ergebnis mit Rest.
2.	Teile das Ergebnis erneut durch die Basis und notiere das neue Ergebnis mit Rest.
3.	Wiederhole Schritt $2$ bis das neue Ergebnis Null ist.
4,	Stelle die Restwerte in umgekehrter Reihenfolge hintereinander. Die erhaltene Zahl ist die gesuchte Zahl im gesuchten Zahlensystem.

Beispiel

$67_{(10)}$ ins Binärsystem

Teilen mit Rest:

$\begin{aligned}67&:2=32\quad&\text{Rest: }1\\33&:2=16\quad&\text{Rest: }1\\16&:2=8\quad&\text{Rest: }0\\8&:2=4\quad&\text{Rest: }0\\4&:2=2\quad&\text{Rest: }0\\2&:2=1\quad&\text{Rest: }0\\1&:2=0\quad&\text{Rest: }1\\\end{aligned}$

Zahl im Binärsystem:

$67_{(10)}=\underline{1000011_{(2)}}$ 