Zweiersystem/Binärsystem verstehen & umrechnen

Definition

Neben dem im Alltag verwendeten Dezimalsystem mit den typischen Ziffern von $$0$$​ bis $$9$$​ gibt es noch weitere Stellenwertsysteme, um Zahlen zu schreiben und zu zählen. Eines davon ist das Binärsystem, welches nur die Ziffern $$0$$​ und $$1$$​ verwendet. Das Binärsystem findet in der Computer- und Digitaltechnik Anwendung, da man $$0$$​ und $$1$$​ sehr einfach durch Strom „aus“ oder „an“ repräsentieren kann.

Jedes Zahlensystem hat eine Basis b, die angibt, wie viele verschiedene Ziffern im Zahlensystem vorkommen. Eine Zahl besteht aus einer Kombination dieser Ziffern. Die Fußnote an einer Zahl gibt das verwendete Zahlensystem an.

Dezimalsystem

Der Wert einer Ziffer ist abhängig von der Stelle, an der sie steht. Steht eine $$5$$​ an der Einerstelle, wird sie als $$5$$​ geschrieben. Steht eine $$5$$​ an der Hunderterstelle, wird sie als $$500$$​ geschrieben, usw. Dabei sorgt die Basis $$10$$​ für die Anzahl der Nullen der jeweiligen Stelle, denn zwischen jeder Stelle liegt der Faktor $$10$$​.

Binärsystem

Der Wert der Ziffer im Binärsystem ist ebenso abhängig davon, an welcher Stelle sie steht. Hier werden aber nur die Ziffern $$1$$​ oder $$0$$​ geschrieben. Dabei sorgt die Basis $$2$$​ für den Wert der jeweiligen Stelle, denn zwischen jeder Stelle liegt der Faktor $$2$$. Im Vergleich zum Dezimalsystem haben Zahlen also keine Einer-, Zehner-, Hunderter-, usw. Stellen, sondern Einer-, Zweier-, Vierer-, Achter-, usw. Stellen.

Umrechnung zwischen Zahlensystemen

Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Gegeben ist eine Zahl aus dem Binärsystem, die ins Dezimalsystem umgerechnet werden soll.

Vorgehen

​​​​Beispiel 1

​$$1010_{(2)}$$​ ins Dezimalsystem

Beispiel 2

​$$1001_{(2)}$$ ins Dezimalsystem

$$Z=8+0+0+1=\underline{9_{(10)}}$$

Beispiel 3

​$$111_{(2)}$$ ins Dezimalsystem​

​$$Z=4+2+1=\underline{7_{(10)}}$$​​

​Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Gegeben ist eine Zahl aus dem Dezimalsystem, die ins Binärsystem umgerechnet werden soll.

Vorgehen

Beispiel

​$$67_{(10)}$$​ ins Binärsystem

Teilen mit Rest:

$$\begin{aligned}67&:2=32\quad&\text{Rest: }1\\33&:2=16\quad&\text{Rest: }1\\16&:2=8\quad&\text{Rest: }0\\8&:2=4\quad&\text{Rest: }0\\4&:2=2\quad&\text{Rest: }0\\2&:2=1\quad&\text{Rest: }0\\1&:2=0\quad&\text{Rest: }1\\\end{aligned}$$

Zahl im Binärsystem:

$$67_{(10)}=\underline{1000011_{(2)}}$$​​

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