Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Definition

Der ggT von zwei oder mehr Zahlen ist die größte Zahl, durch welche alle Zahlen geteilt werden können.

Vorgehen

1.	Bestimme die Teiler der beiden Zahlen.
2.	Unterstreiche den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen.

Beispiel

ggT von $56$  und $84$ :

Teiler von $56$ : $1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56$

Teilermenge: $T(56) = \{1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56\}$

Teiler von $84$ : $1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84$

Teilermenge: $T(84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84\}$

ggT von $56$  und $84$  ist: $\underline{28}$

Du schreibst: $ggT(56; 84)=\underline{28}$

ggT bestimmen

Vorgehen

1.	Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren (Primfaktorzerlegungen).
2.	Notiere, welche Faktoren in allen Zerlegungen vorkommen.
3.	Multipliziere diese Faktoren um das ggT zu erhalten.

Beispiel

ggT von $56$  und $84$ :

Primfaktorzerlegung:

E	P
$56\\28\\14\\7\\1$	$2\\2\\2\\7\\\,$

E	P
$84\\42\\21\\7\\1$	$2\\2\\3\\7\\\,$

Gemeinsame Primfaktoren: Zweimal $2$ und einmal $7$

$ggT: 2 \cdot 2\cdot7=\underline{28}$

$ggT(56;84)=\underline{28}$

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Definition

Das kgV von zwei oder mehr Zahlen ist die kleinste Zahl, die sich durch alle Zahlen teilen lässt.

Vorgehen

1.	Bestimme die Vielfachen der beiden Zahlen.
2.	Unterstreiche das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen.

Beispiel

kgV von $9$ und $12$ :

Vielfache von $9$ : $9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; …$	Mengenschreibweise: $V(9) = \{9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; ...\}$
Vielfache von $12$ : $12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 120; …$	Mengenschreibweise: $V(12) = \{12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 120; ...\}$

kgV von $9$ und $12$ ist: $\underline{36}$ 

$kgV(9;16)=\underline{36}$

kgV bestimmen

Vorgehen

1.

Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren (Primfaktorzerlegungen).

2.

Notiere, wie oft die Faktoren maximal vorkommen.

3.

Multipliziere alle Faktoren.

Jeden Faktor so oft mit sich selbst, wie er maximal vorkommt.
Und alle Faktoren miteinander.

Beispiel

kgV von $12$ und $16$ :

Primfaktorzerlegung:

E	P
$12\\6\\3\\1$	$2\\2\\3\\\,$

Primfaktorzerlegung: $2^3 \cdot 3$

E	P
$16\\8\\4\\2\\1$	$2\\2\\2\\2\\\,$

Primfaktorzerlegung: $2^4$

Alle Primfaktoren:

$2$ : Maximal 4-mal
$3$ : Maximal 1-mal

$kgV: 2^4 \cdot 3^1 = \underline{48}$

$kgV(12;16) = \underline{48}$