Le potenze e le loro proprietà

Definizione

La potenza è il risultato della moltiplicazione di un numero, detto base, per sé stesso e ripetuta una quantità di volte pari al valore dell'esponente:

​$$x^n$$ in cui $$x$$ è la base e $$n$$ l'esponente.​

Si legge "$$x$$​ alla $$n$$​-esima" oppure "$$x$$​ elevato alla $$n$$​" 

Casi particolari

Potenze di 10

Una potenza con base $$10$$​ ha come risultato un numero composto dalla cifra $$1$$​ seguita da un numero di zeri pari al valore dell'esponente.

Esempi

​$$10^0 = 1$$

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​$$10^1 = 10$$

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​​​$$10^5=100000$$

Potenze di numeri interi

La potenza di un numero intero con esponente naturale è un numero intero che ha per valore assoluto la potenza del valore assoluto della base e per segno il segno negativo se la base è negativa e l'esponente è dispari ed il segno positivo altrimenti.

Esempi

​​​​$$(+3)^2=+9$$

​$$(-3)^2=+9$$

$$(-3)^3=-27$$

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Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la base dei fattori e per esponente la somma degli esponenti dei fattori.

Esempio

​$$3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$$

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Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di potenze che hanno la stessa base (diversa da 0) è una potenza che ha per base la stessa di dividendo e divisore e per esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e quello del divisore.

Esempio

​$$\dfrac{4^6}{4^3} = 4^{6-3} = 4^3$$

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Potenza di una potenza

La potenza di una potenza è una potenza che conserva la base e che ha per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempio

​$$(2^4)^2 = 2^{4\cdot2} = 2^8$$

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Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Il prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che conserva l'esponente e che ha per base il prodotto tra le basi dei fattori.

Esempio

​$$3^3\cdot2^3= 6^3$$

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Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Il quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che conserva l'esponente e che ha per base il quoziente tra le basi.

Esempio

​$$\dfrac{16^2}{4^2}= \left (\dfrac{16}{4}\right)^2= 4^2$$

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