Punti e segmenti

Definizioni

A ogni punto $$P$$​ corrisponde una coppia di valori $$(x;y)$$ che rappresentano le coordinate: la $$x$$ indica l'ascissa e la $$y$$ l'ordinata. Unendo due punti sul piano cartesiano, si ottiene un segmento di cui questi due sono gli estremi.

Esempio

Nel grafico qui sotto viene rappresentato un punto $$P(2;1)$$ avente $$2$$ come ascissa e $$1$$ come ordinata.

La distanza tra due punti

Caso generale

Per calcolare la distanza tra due punti $$A$$​ e $$B$$​ occorre applicare il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo in cui il lato $$AB$$​ è l'ipotenusa e i due cateti sono i lati che partono rispettivamente da $$A$$​ e da $$B$$ fino ad un punto $$H$$​ avente come ascissa quella di $$A$$​ e come ordinata quella di $$B$$​ (o viceversa).

In formule: $$\overline{AB}=\sqrt{\overline{AH}^2+\overline{BH}^2}$$ quindi $$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$.

Esempio

Calcola la distanza tra i punti $$A(5;2)$$ e $$B(3;6)$$.

$$\overline{AB}=\sqrt{(3-5)^2+(6-2)^2}=\sqrt{(-2)^2+(4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

Punti con la stessa ordinata

Due punti aventi la stessa ordinata sono disposti su una retta parallela all'asse $$x$$​, quindi, per calcolarne la distanza, sarà sufficiente fare la differenza tra le due ascisse.

In formule: $$\overline{AB}=\vert{x_B-x_A}\vert$$

​

Esempio

Calcola la distanza tra i punti $$A(4;1)$$ e $$B(2;1)$$.

$$\overline{AB}=\vert{2-4}\vert=\vert{-2}\vert=2$$​​

Punti con la stessa ascissa

Due punti aventi la stessa ascissa sono disposti su una retta parallela all'asse $$y$$​, quindi, per calcolarne la distanza, sarà sufficiente fare la differenza tra le due ordinate.

In formule: $$\overline{AB}=\vert{y_B-y_A}\vert$$

Esempio

Calcola la distanza tra i punti $$A(2;5)$$ e $$B(2;8)$$.

$$\overline{AB}=\vert{8-5}\vert=3$$​​

Il punto medio di un segmento

​​Caso generale

Per calcolare l'ascissa del punto medio tra i due punti $$A$$ e $$B$$​ occorre dividere per $$2$$ la somma delle ascisse dei due punti. La stessa operazione, ma sommando le ordinate dei due punti, viene applicata per trovare l'ordinata del punto medio.

In formule: $$x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} \qquad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$$ 

Il punto medio del segmento sarà $$(x_M,y_M)$$.​

Esempio

Calcola il punto medio tra $$A(6;9)$$ e $$B(2;3)$$.

$$x_M=\dfrac{6+2}{2}=4$$ e $$y_M=\dfrac{9+3}{2}=6$$.

Quindi il punto medio è $$M(4;6)$$.

Punti con la stessa ascissa

Il punto medio di due punti $$A$$​ e $$B$$ aventi la stessa ascissa conserva l'ascissa e ha l'ordinata data dalla somma delle ordinate dei due punti, divisa per $$2$$.

In formule: $$x_M=x_A=x_B\qquad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$$

Il punto medio del segmento sarà $$(x_M,y_M)$$.​

​​

Esempio

Calcola il punto medio tra $$A(3;5)$$ e $$B(3;1)$$.

$$x_M=3 \quad y_M=\dfrac{5+1}{2}=3$$.

Quindi si ottiene $$M(3;3)$$.

Punti con la stessa ordinata

Il punto medio di due punti $$A$$​​ e $$B$$​ aventi la stessa ordinata conserva l'ordinata e ha l'ascissa data dalla somma delle ascisse dei due punti, divisa per $$2$$​.

In formule: $$x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\qquad y_M=y_A=y_B$$

Il punto medio del segmento sarà $$(x_M,y_M)$$.​

​

Esempio

Calcola il punto medio tra A$$(7;2)$$ e B$$(1;2)$$.

$$x_M=2 \quad y_M=\dfrac{7+1}{2}=4$$.

Quindi si ottiene $$M(4;2)$$.