Disequazioni fratte

​​Definizione

Una disequazione si dice fratta quando ha almeno un termine con l'incognita a denominatore.

In formule: $$\dfrac{N(x)}{D(x)}>b$$, dove $$N(x)$$ è il polinomio a numeratore, mentre $$D(x)$$ è il polinomio a denominatore e $$b$$ è il termine noto.​

Esempio

$$\dfrac{2}{x+3}>5$$​ 

Disequazioni numeriche fratte

Sono disequazioni dove l'unica parte letterale presente è rappresentata dall'incognita, presente a denominatore.

In forma normale:  $$\dfrac{N(x)}{D(x)} \lesseqgtr 0$$​​

procedimento

Nota bene: confronto sempre i risultati ottenuti con le Condizioni di Esistenza, in modo da controllare che siano accettabili.

​

Ricorda: non è possibile eliminare il denominatore come nelle disequazioni intere, in quanto, nelle disequazioni fratte, essendoci l'incognita, influenza il segno complessivo.

Esempio

​$$\dfrac{4-x}{x+3}>2$$

1.	​$$\dfrac{-3x-2}{x+3}>0$$​
2.	​$$\dfrac{-3x-2}{x+3}>0$$​
3.	​$$-3x-2>0$$ $$\longrightarrow$$ $$x<-\dfrac{2}{3}$$​
4.	​$$x+3>0 \ \longrightarrow \ x>-3$$​
5.
6.	$$S=\left\{x\in\R|-3<x<-\dfrac{2}{3}\right\}$$​​

Disequazioni letterali fratte

Sono disequazioni dove, oltre all'incognita, è presente un altro termine letterale che prende il nome di parametro. 

In formule: $$\dfrac{P(x)}{Z(x)}>c$$, dove $$P(x)$$ è il numeratore della frazione, $$Z(x)$$ è il denominatore della frazione, $$c$$​ il termine noto. Ognuno di questi può contenere il parametro.

Il procedimento risolutivo ripercorre quello delle disequazioni numeriche fratte, con la differenza della discussione del parametro.

procedimento

Esempio

​$$\dfrac{2ax+4}{x+5}>3$$

$$\dfrac{2ax+4}{x+5}-3>0$$

$$\dfrac{2ax+4-3x-15}{x+5}>0$$

$$\dfrac{2ax-3x-11}{x+5}>0$$

1.	​$$\dfrac{2ax-3x-11}{x+5}>0$$​​
2.	​$$x(2a-3)-11>0\to x(2a-3)>11$$: ​se $$2a-3>0\to a>\dfrac{3}{2}$$ allora $$P(x)>0$$ per $$x>\dfrac{11}{2a-3}$$ se $$2a-3=0\to a=\dfrac{3}{2}$$ allora $$P(x)>0$$ è impossibile $$0>11$$ se $$2a-3<0\to a<\dfrac{3}{2}$$ allora $$P(x)>0$$ per $$x<\dfrac{11}{2a-3}$$​
3.	​$$x+5>0\to x>-5$$​
4.	Per $$a>\dfrac{3}{2}\ \land x>-5$$​ Per $$a<\dfrac{3}{2} \ \land x>-5$$ Qui bisogna distinguere due casi, perché non sappiamo quanto vale $$\dfrac{11}{2a-3}$$ e quindi se sta a destra o a sinistra di $$-5$$. Risolvendo $$\dfrac{11}{2a-3} > -5$$ troviamo i due casi. Per $$x > - 5 \ \ \land a < \dfrac{2}{5}$$​ ​ Per $$x>-5 \ \ \ \land \dfrac{2}{5} < a < \dfrac{3}{2}$$ ​
5.	A seconda del valore del parametro $$a$$ ottengo intervalli di soluzioni diversi