Le funzioni polinomiali

Definizione

Considerando un qualsiasi polinomio nel campo dei numeri reali, per ogni valore assegnato alla variabile $$x$$, il polinomio avrà un valore univoco. Di conseguenza, si può affermare che ogni polinomio è associato ad una funzione chiamata funzione polinomiale e indicata con l'espressione $$y=P(x)$$​. 

Esempio

​$$y=x^3 -7x+6$$​​

Provando a sostituire alla $$x$$ alcuni numeri reali, si ottengono diversi valori univoci della funzione polinomiale:

​

Zeri di funzione polinomiale

Prendono il nome di zeri (o radici) di una funzione polinomiale tutti i valori di $$x$$ che annullano la funzione polinomiale, cioè tali che $$P(x)=0$$. Graficamente, gli zeri di funzione corrispondono ai punti in cui il grafico interseca l'asse delle ascisse.

Nota bene: una funzione può avere uno zero, più zeri, o nessuno zero.

Esempio

Per la funzione polinomiale, gli zeri sono $$x=1,x=-3,x=2$$ perché $$P(1)=P(-3)=P(2)=0$$.

Principio di identità dei polinomi

Il principio di identità dei polinomi afferma che due polinomi $$P$$ e $$Q$$, in una determinata variabile, ad esempio $$x$$, sono uguali (o identici) se e solo se le corrispondenti funzioni polinomiali $$y=P(x)$$​ e $$y=Q(x)$$ assumono gli stessi valori per qualsiasi valore attribuito a $$x$$.

Esempio

Analizziamo i polinomi $$P(x)= 2x^2-2$$ e $$Q(x)= -(-2x^2+2)$$.

Risolvendo attraverso la regola dei segni il polinomio associato alla funzione polinomiale $$Q(x)$$ ottengo che $$P(x)=Q(x)$$, ed essendo due polinomi identici, anche le due funzioni polinomiali assumeranno gli stessi valori per ogni $$x$$, pertanto vale il principio di identità dei polinomi.