I numeri razionali Q

La frazione

Una frazione è il rapporto tra due numeri chiamati numeratore e denominatore (che deve essere diverso da $$0$$). La frazione rappresenta il quoziente tra questi due numeri.

Esempio

​$$\dfrac{2}{3}$$ è una frazione. In particolare, $$2$$ è il numeratore e $$3$$ è il denominatore.​

Frazioni proprie, improprie e apparenti

Una frazione $$\dfrac{a}{b}$$, con $$b\ne0$$, si definisce:

• propria se ​$$a<b$$;​
• apparente se $$a>b$$ ed è multiplo di $$b$$​;
• impropria se $$a>b$$ e $$a$$ non è multiplo di $$b$$. 

​

Esempi

​$$\dfrac{3}{5}$$ è una frazione propria perché $$3<5$$.

$$\dfrac{15}{5}$$ è una funzione apparente perché $$15=3\cdot5$$.

​$$\dfrac{14}{11}$$ è una frazione impropria perché $$14>11$$ e $$14$$ non è multiplo di $$11$$.​

Frazioni equivalenti

Due frazioni sono equivalenti se il prodotto tra il numeratore della prima e il denominatore della seconda è uguale al prodotto tra il denominatore della prima e il numeratore della seconda. Due frazioni equivalenti si possono uguagliare.

Esempio

Le frazioni $$\dfrac{1}{4}$$ e $$\dfrac{2}{8}$$ sono equivalenti perché ​$$1\cdot8=8$$ e $$2\cdot 4=8$$.

Allora si può scrivere $$\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}$$.​

Per la proprietà invariantiva, se si moltiplica (o divide) per uno stesso numero naturale, diverso da $$0$$, sia il numeratore che il denominatore si ottiene una frazione equivalente.

Esempio

​$$\dfrac{5}{6}=\dfrac{5\cdot 2}{6\cdot 2}$$

Frazioni semplificate

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono primi tra loro, cioè se non vi sono divisori in comune tra i due termini.
Il processo che porta a ridurre ai minimi termini una frazione è chiamato semplificazione e consiste nel dividere numeratore e denominatore per uno stesso divisore comune fino ad ottenere termini primi tra loro.

Esempio

​$$\dfrac{8}{2}=\dfrac{8:2}{2:2}=\dfrac{4}{1}$$

Portare a denominatore comune

Portare al denominatore comune due frazioni significa manipolare le frazioni fino ad ottenerne due aventi lo stesso denominatore ed equivalenti alle frazioni iniziali.

Il denominatore comune sarà il minimo comune multiplo dei due denominatori, mentre ciascun numeratore sarà dato dal prodotto tra il numeratore iniziale e il quoziente tra mcm e denominatore iniziale.

Esempio

Portare le frazioni $$\dfrac{5}{6}$$ e $$\dfrac{1}{4}$$ allo stesso denominatore.

Il mcm($$4,6$$) è $$12$$, quindi le frazioni a denominatore comune sono $$\dfrac{10}{12}$$ e $$\dfrac{3}{12}$$ perché:

$$\dfrac{(12:6)\cdot 5}{12}=\dfrac{10}{12}$$ e $$\dfrac{(12:4)\cdot 1}{12}=\dfrac{3}{12}$$.​

I numeri razionali

Un numero razionale è una frazione in cui numeratore e denominatore sono numeri interi. L'insieme dei numeri razionali si denota con Q ed è costituito da tutte le possibili frazioni tra numeri interi. In particolare, l'insieme dei numeri razionali positivi si indica con Q$$^+$$ e quello dei razionali negativi con Q$$^-$$.​

Nota bene: l'insieme dei numeri razionali contiene l'insieme dei numeri interi, quindi anche l'insieme dei numeri naturali.

Esempio

​$$+\dfrac{4}{5}$$ e $$-\dfrac{7}{10}$$ sono numeri razionali, come anche $$\dfrac{10}{5}=2$$ e $$-\dfrac{15}{3}=-5$$.​

​

Razionali assoluti

Si chiama l'insieme dei razionali assoluti l'insieme di frazioni prive di segno e tutte equivalenti tra loro.

​

Esempio

​$$\left\{ \dfrac{1}{4},\dfrac{2}{8},\dfrac{3}{12},\dfrac{4}{16},\dfrac{5}{20},... \right\}$$

Rappresentazione dei razionali

I numeri razionali possono essere rappresentati su una retta in cui i valori aumentano man mano che si procede verso destra e in cui viene fissata un'origine corrispondente a $$0$$. I numeri razionali positivi verranno disposti a destra dell'origine, mentre quelli negativi a sinistra.

​$$\begin{array}{cccccc}\bold-2&-\dfrac{3}{2}&-1&-\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}&1&\dfrac{3}{2}&2\\|&|&|&|&|&|&|&|&|\\ \hline\end{array}Q$$     ​

Confronto tra numeri razionali

Per confrontare due numeri razionali si procede nel seguente modo: se il prodotto tra il numeratore del primo e il denominatore del secondo è minore rispetto al prodotto tra il numeratore del secondo e il denominatore del primo, allora il primo numero razionale è minore del secondo.

Esempio

​$$\dfrac{3}{7}>\dfrac{1}{4}$$ perché $$3\cdot 4>1\cdot 7$$.