Rette e parabole

​​Posizione di una retta rispetto ad una parabola

Una qualsiasi retta può assumere posizioni diverse rispetto ad una parabola.

Per capirlo occorre eguagliare le due equazioni e valutare il discriminante dell'equazione di secondo grado risultante:

• per $$\Delta>0$$ la retta è secante alla parabola in due punti che si ricavano risolvendo l'equazione;
• per $$\Delta=0$$ la retta è tangente alla parabola in un punto che si ricava risolvendo l'equazione, oppure la retta è parallela all'asse della parabola e si interseca con essa in un punto ricavabile risolvendo l'equazione;
• per $$\Delta<0$$ la retta è esterna alla parabola in quanto l'equazione è impossibile e non vi sono punti di intersezione.

​$$\Delta>0$$​​	​$$\Delta=0$$​​	​$$\Delta<0$$​​	$$\Delta=0$$  (retta parallela all'asse della parabola)​
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Esempio

La parabola $$y=x^2+x-3$$ e la retta $$y=3x$$ sono secanti perché, eguagliando le equazioni, si ottiene $$x^2-2x-3=0$$ il cui $$\Delta$$ è uguale a $$16$$.

Ricavando $$x_1$$ e $$x_2$$, pari rispettivamente a $$-1$$ e $$3$$, e sostituendo tali valori a una delle due equazioni si ottiene che i punti di intersezione sono $$(-1;-3)$$ e $$(3;9)$$.

Rette tangenti a una parabola

Le rette passanti per un punto $$P$$​ e anche tangenti ad una parabola possono essere due, una o nessuna a seconda della posizione di tale punto rispetto la parabola stessa:

• se il punto è esterno alla parabola vi sono due rette tangenti passanti per quel punto;
  
• se il punto è sulla parabola vi è una retta tangente passante per quel punto;
• se il punto è interno alla parabola non vi sono rette tangenti passanti per quel punto.

$$P$$ esterno alla parabola	$$P$$ appartenente alla parabola​	$$P$$ interno alla parabola​

Determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti

​​PROCEDIMENTO

Esempio

Determinare le rette tangenti a $$y=x^2-1$$​ passanti per $$P(2;2)$$.