Circonferenza e cerchio

Circonferenza

La circonferenza è l'insieme di punti di un piano equidistanti da un punto definito centro.

Il raggio è un segmento avente come estremi il centro e un qualsiasi punto della circonferenza.
La corda è un segmento avente come estremi due punti qualsiasi della circonferenza.
Il diametro è un corda passante per il centro e misura il doppio del raggio.

Cerchio

Il cerchio è una figura piana costituita da tutti i punti della circonferenza e dai suoi punti interni: è quindi l'insieme di punti che hanno una distanza dal centro minore o uguale al raggio.

Arco di una circonferenza

Un arco è la parte della circonferenza compresa tra due suoi punti, definiti estremi dell'arco.
Un arco con estremi $$A$$ e $$B$$ viene indicato con $$\overgroup{AB}$$.

Prendendo due estremi è possibile ottenere due archi differenti, i quali, per distinguerli, vanno identificati con uno dei punti interni ad essi.

Esempio

Ricorda: se una corda e un arco hanno gli stessi estremi, si dice che la corda sottende l'arco o che l'arco è sotteso dalla corda. 

Angolo al centro

L'angolo al centro è un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza e che si individua congiungendo gli estremi di un arco con il centro stesso.

I lati di un angolo al centro intersecano, quindi, la circonferenza in due punti (estremi dell'arco).
Si dice che l'angolo al centro insiste sul quell'arco.

Ricorda: tracciando due semirette dal centro di una circonferenza si generano due angoli al centro, uno convesso e uno concavo.

Angolo alla circonferenza

Un angolo alla circonferenza è un angolo convesso il quale ha vertice sulla circonferenza e i due lati che sono secanti la circonferenza, oppure uno secante e uno tangente.

Nota bene: un angolo al centro e un angolo alla circonferenza si definiscono corrispondenti quando insistono sullo stesso arco.

Settore circolare

Il settore circolare è una parte di cerchio compresa tra un arco e i raggi che hanno come estremo del segmento uno degli estremi dell'arco.

Semicirconferenza e semicerchio

La semicirconferenza è l'arco che corrisponde a un angolo al centro piatto.

Il semicerchio è il settore circolare che corrisponde a un angolo al centro piatto.

Ogni diametro divide la circonferenza e il cerchio rispettivamente in due semicirconferenze e in due semicerchi.

Segmento circolare a una e due basi 

Il segmento circolare a una base è la parte di cerchio compresa tra un arco e la corda che lo sottende.

Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio compresa tra due corde parallele e gli archi con estremi gli estremi delle corde.

Posizioni tra circonferenze

Partendo dal presupposto che due circonferenze possono avere al massimo due punti in comune, e partendo da tre punti in comune si parlerebbe di circonferenze coincidenti, la posizione reciproca dipende dalla distanza tra i centri delle due circonferenze.

Vi sono sei diversi casi di posizioni tra circonferenze:

Casi	Distanza tra i centri	Caratteristiche	Grafiche
Circonferenze esterne	​$$\overline{OO'}>r+r'$$​​	Le due circonferenze sono esterne l'una all'altra, quindi non vi sono punti di intersezione.	​
Circonferenze tangenti esternamente	​$$\overline{OO'}=r+r'$$​​	Le due circonferenze hanno un unico punto in comune (punto di tangenza) e gli altri punti sono esterni l'una all'altra.	​
Circonferenze tangenti internamente	​$$\overline{OO'}=r-r'$$​​	Le due circonferenze hanno un unico punto in comune (punto di tangenza) e gli altri punti di quella più piccola sono interni a quelli di quella più grande.	​
Circonferenze secanti	$$r-r'<\overline{OO'}<r+r'$$​​	Le due circonferenze hanno due punti di intersezione.	​
Circonferenze una interna all'altra	$$\overline{OO'}<r-r'$$​​	Le due circonferenze non hanno punti di intersezione e tutti i punti della circonferenza più piccola sono interni a quella più grande.	​

Ricorda: se le circonferenze sono una interna all'altra, e hanno lo stesso centro, si dicono concentriche. L'insieme di punti della circonferenza maggiore, non compresi nella circonferenza minore, prende il nome di corona circolare.

Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Lunghezza della circonferenza

La lunghezza della circonferenza $$C$$​ è direttamente proporzionale a quella del proprio raggio $$r$$.​

In formule: $$C=2\pi r$$ in cui $$\pi=\text{3,141592654}$$.

Area del cerchio

L'area del cerchio $$A$$ è direttamente proporzionale a quella del proprio raggio $$r$$.​

In formule: $$A=\pi r^2$$ in cui $$\pi=\text{3,141592654}$$.

Lunghezza di un arco

La lunghezza di un arco $$l$$​ è direttamente proporzionale al raggio $$r$$​ e all'angolo al centro $$\alpha$$​ che insiste sull'arco stesso.

In formule: $$l=\dfrac{\alpha}{180}\cdot \pi r$$

Area di un settore circolare

La lunghezza di un settore circolare $$S$$​ è direttamente proporzionale al raggio $$r$$ e all'angolo al centro $$\alpha$$ corrispondente al settore circolare stesso.

In formule: $$S=\dfrac{\alpha}{360}\cdot \pi r^2$$