Disequazioni di grado superiore al secondo

​​Scomposizione

procedimento

Esempio

​$$x^3-5x^2+4x < 0 \\x^3-5x^2+4x=x(x^2-5x+4)=x(x-4)(x-1) < 0 \\x >0\\x > 4\\x>1$$

Disegnando lo schema dei segni, la disequazione ha segno negativo per:

 $$x < 0 \lor 1 < x < 4$$.

Disequazioni binomie

Se hai una disequazione in questa forma $$a x^n + b < 0, ax^n+b>0$$ allora il metodo per risolverla dipende se $$n$$ è pari o dispari.

Caso dispari:

Isola l'incognita da un lato della disequazione, a entrambi i lati della disequazione esegui la radice ennesima.

Caso pari:

Isola l'incognita da un lato della disequazione. Una potenza pari è sempre positiva, quindi nel caso in cui ti viene chiesto quando la potenza è minore di un numero negativo è impossibile, quando è maggiore di un numero negativo allora è sempre verificata. Se invece ti viene chiesto se la potenza pari è maggiore o minore di un numero positivo queste sono le soluzioni:

$$x^n>a \Rightarrow x < -\sqrt[n]{a} \lor x>\sqrt[n]{a}\\x^n < a \Rightarrow -\sqrt[n]{a} < x < \sqrt[n]{a}$$​

Disequazioni biquadratiche o simili

Hai una disequazione ad esempio della forma $$ax^4+bx^2+c>0$$. 

procedimento

Esempio

​$$x^8 -4x^4-21 < 0\\t= x^4\\t^2-4t-21 < 0\\t_1=-3,t_2=7 \Rightarrow -3< t < 7\\-3< x^4 < 7\\\begin{cases} x^4 > - 3 \\ x^4 < 7 \end{cases} \hspace{1cm} \begin{cases} \forall x \in \R \\ -\sqrt[4]{7} < x < \sqrt[4]{7}\end{cases}\\-\sqrt[4]{7} < x < \sqrt[4]{7}$$​

Per risolvere il sistema puoi applicare le regole delle disequazioni binomie.