La parabola e la sua equazione

Definizione

La parabola è il luogo geometrico, a forma di curva, composto da punti equidistanti da un punto $F$ , detto fuoco, e da una retta definita direttrice.

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice prende il nome di asse della parabola, il quale costituisce anche l'asse di simmetria per cui, considerato un punto della parabola, esiste un punto simmetrico rispetto all'asse.

Il punto in cui la parabola si interseca con l'asse si indica con la lettera $V$ ed è detto vertice.

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Parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse y

Una parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse y ha equazione del tipo:

$y=ax^2$ (con $a\neq0$ ), in cui, dato un fuoco con coordinate $(0;y_f)$ , $a=\dfrac{1}{4y_f}$ .

Inoltre, si possono ricavare:

coordinate del fuoco: $F(0;\dfrac{1}{4a})$ ;
equazione della direttrice: $y=-\dfrac{1}{4a}$ .

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Parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse x

Una parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse x ha equazione del tipo $x=ay^2$ (con $a\neq0$ ).

Inoltre, si possono ricavare:

coordinate del fuoco: $F(\dfrac{1}{4a};0)$ ;
equazione della direttrice: $x=-\dfrac{1}{4a}$ .

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Dall'equazione al grafico

PROCEDIMENTO

1.	Si trovano le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice applicando le formule
2.	Si sostituiscono all'equazione valori della variabile $y$ simmetrici ed equidistanti dal vertice in maniera tale da trovare i corrispondenti valori di $x$
3.	Si trovano i punti ricavati sul piano cartesiano e si disegna la parabola

Parabola con asse parallelo all'asse y

Una parabola con asse parallelo all'asse y ha equazione $y=ax^2+bx+c$ (con $a\neq0$ ).

Inoltre, si possono ricavare:

equazione dell'asse: $x=-\dfrac{b}{2a}$ ;
equazione della direttrice: $y=-\dfrac{1+\Delta}{4a}$ ( $\Delta=b^2-4ac$ );
vertice: $V\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ ;
fuoco: $F\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{1-\Delta}{4a}\right)$ .

Matematica; Coniche nel piano cartesiano; 2a superiore; La parabola e la sua equazione

Dall'equazione al grafico

PROCEDIMENTO

1.	Si trovano le coordinate del fuoco e del vertice, oltre che le equazioni della direttrice e dell'asse applicando le formule
2.	Si sostituiscono all'equazione valori della variabile indipendente $x$ simmetrici ed equidistanti dal vertice in maniera tale da trovare i corrispondenti valori di $y$ .
3.	Si trovano i punti ricavati sul piano cartesiano e si disegna la parabola

Casi particolari dell'equazione $y=ax^2+bx+c$

Casi	Caratteristiche	Grafici
$b=0;\\c\neq0$	La parabola ha vertice nell'asse y e asse di simmetria coincidente con l'asse y
$b\neq0;\\c=0$	La parabola passa per l'origine
$b=0;\\c=0$	La parabola ha vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse y

Parabola con asse parallelo all'asse x

Una parabola con asse parallelo all'asse x ha equazione $x=ay^2+by+c$ (con $a\neq0$ ).

Inoltre, si possono ricavare:

equazione dell'asse: $y=-\dfrac{b}{2a}$ ;
equazione della direttrice: $x=-\dfrac{1+\Delta}{4a}$ ( $\Delta=b^2-4ac$ );
vertice: $V\left(-\dfrac{\Delta}{4a};-\dfrac{b}{2a}\right)$ ;
fuoco: $F\left(\dfrac{1-\Delta}{4a};-\dfrac{b}{2a}\right)$ .

Matematica; Coniche nel piano cartesiano; 2a superiore; La parabola e la sua equazione

Dall'equazione al grafico

PROCEDIMENTO

1.	Si trovano le coordinate del fuoco e del vertice, oltre che le equazioni della direttrice e dell'asse applicando le formule
2.	Si sostituiscono all'equazione valori della variabile indipendente $x$ simmetrici ed equidistanti dal vertice in maniera tale da trovare i corrispondenti valori di $y$
3.	Si trovano i punti ricavati sul piano cartesiano e si disegna la parabola

Casi particolari dell'equazione $x=ay^2+by+c$

Casi	Caratteristiche	Grafici
$b=0;\\c\neq0$	La parabola ha vertice sull'asse x e asse di simmetria coincidente con l'asse x
$b\neq0;\\c=0$	La parabola passa per l'origine
$b=0;\\c=0$	La parabola ha vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse x

Concavità e apertura della parabola

Concavità

Se $a>0$ la parabola, se nella forma $y=ax^2+bx+c$ , ha concavità verso l'alto e verso la direzione positiva delle ascisse se nella forma $x=ay^2+by+c$ .
Se $a<0$ la parabola, se nella forma $x=ay^2+by+c$ , ha concavità verso il basso e verso la direzione negativa delle ascisse se nella forma $y=ax^2+bx+c$ .

$a>0$	$a<0$

Apertura

All'aumentare del valore assoluto di $a$ diminuisce l'apertura della parabola.

$a>0$	$a<0$
	a

Determinare l'equazione di una parabola

Nell'equazione di una parabola sono presenti tre coefficienti ( $a,b,c$ ) che, per determinare, vanno posti come incognite in un sistema con tre equazioni ricavato utilizzando le caratteristiche della parabola e le rispettive formule.

Esempio

Per determinare l'equazione di una parabola con $V(1;1)$ e passante per $P(2;2)$ si otterrà:

$\begin{cases}2=2^2\cdot a +2\cdot b+c\\-\dfrac{b}{2a}=1\\-\dfrac{\Delta}{4a}=1\\\end{cases}$ quindi $\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=2\\\end{cases}$ cioè $y=x^2-2x+2$ .

Applicare la definizione di parabola per ricavare l'equazione

Dato un punto $P(x;y)$ appartenente ad una parabola si può ricavarne l'equazione considerandolo equidistante al fuoco e alla direttrice.

Esempio

Si vuole ricavare l'equazione di una parabola con fuoco $F(0;1)$ e direttrice $y=-1$ dato un punto $P(x;y)$ .

1.	$\overline{PF}=\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$ e, dato $H$ un punto sulla direttrice, $\overline{PH}=\dfrac{\vert 0\cdot x+1\cdot y+1 \vert}{\sqrt{1^2+0^2}}=\vert y+1 \vert$ .
2.	Se $\overline{PF}=\overline{PH}$ , allora $\sqrt{x^2+(y-1)^2}=\vert y+1 \vert$ e, per eliminare la radice e il valore assoluto occorre elevare al quadrato ambo i membri.
3.	Si ottiene $x^2+y^2+1-2y=y^2+1+2y$ , cioè $y=\dfrac{1}{4}x^2$ .