Circonferenze e poligoni

Poligoni inscritti

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se, e solo se, tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza stessa: in questo caso, si dice anche che la circonferenza è circoscritta al poligono.

Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se, e solo se, tutti gli assi dei suoi lati si incontrano nel centro della circonferenza stessa.

Ricorda: l'asse di un segmento è la retta che passa per il punto medio del segmento stesso e perpendicolare ad esso.

Poligoni circoscritti

Un poligono è circoscritto ad una circonferenza se, e solo se, tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza stessa: in questo caso, si dice anche che la circonferenza è inscritta al poligono.

Un poligono si può circoscrivere ad una circonferenza se, e solo se, tutte le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nel centro della circonferenza stessa.

Ricorda: la bisettrice di un angolo è la semiretta che divide in due parti uguali l'angolo da cui ha origine.

Triangoli

I triangoli sono poligoni sempre inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza.

È importante saper identificare, in un triangolo, alcuni punti notevoli:

• il circocentro è il punto in cui si incontrano gli assi dei lati del triangolo inscritto, quindi corrisponde col centro della circonferenza circoscritta;
  
• l'incentro è il punto in cui si incontrano le bisettrici degli angoli del triangolo circoscritto, quindi corrisponde col centro della circonferenza inscritta;
• il baricentro è il punto di incontro delle mediane dei lati del triangolo;
• l'ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo.

Ricorda: l'altezza relativa ad un lato è il segmento che forma col lato stesso un angolo di $$90°$$partendo dal vertice opposto. La mediana è il segmento che divide in due un lato partendo dal vertice opposto.

Area di un triangolo inscritto o circoscritto

Per calcolare l'area di un triangolo inscritto o circoscritto occorre utilizzare la formula di Erone.

In formule: $$A=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}$$ in cui $$a,b$$ e $$c$$ sono le lunghezze dei tre lati del triangolo e $$p$$ la misura del semiperimetro.

Raggio di una circonferenza inscritta

La misura del raggio una circonferenza inscritta ad un triangolo è data dal rapporto tra l'area e il semiperimetro del triangolo.

In formule: $$r=\dfrac{A}{p}$$

Raggio di una circonferenza circoscritta

La misura del raggio di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è data dal prodotto tra le misure dei lati del triangolo diviso per il quadruplo dell'area del triangolo stesso.

In formule: $$r=\dfrac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot A}$$​​

Quadrilateri

Quadrilateri inscritti

​​Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se, e solo se, ha gli angoli opposti supplementari, cioè la cui somma risulta $$180°$$.

Siccome la somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre $$360°$$, è sufficiente che vi sia una coppia di angoli opposti supplementari per dedurre che lo sia anche l'altra.

Quadrilateri circoscritti

Un quadrilatero è circoscrivibile in una circonferenza se, e solo se, è convesso e se la somma di due lati opposti è pari alla somma degli altri due.

Ricorda: un quadrilatero si dice convesso se non vi sono lati il cui prolungamento lo divide in due parti.

Poligoni regolari

I poligoni regolari, cioè aventi tutti i lati e tutti gli angoli uguali, sono sempre inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza.

Dato un poligono regolare esistono, e hanno lo stesso centro, la sua circonferenza inscritta e quella circoscritta.

Centro, raggio e apotema di un poligono

Il centro del poligono è il centro comune della circonferenza inscritta e di quella circoscritta.

Il raggio del poligono è il raggio della circonferenza circoscritta e, considerando che i vertici del poligono si trovano su tale circonferenza, è anche la distanza dei vertici dal centro del poligono.

L'apotema del poligono è il raggio della circonferenza inscritta e, considerando che i lati del poligono sono tangenti a tale circonferenza, è anche la distanza dei lati dal centro del poligono.