L'iperbole e la sua equazione

Definizione

Dati due punti $F_1$ e $F_2$ , l'iperbole è l'insieme di punti $P$ del piano tali per cui la differenza delle loro distanze da $F_1$ e $F_2$ è costante, cioè che $\vert\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\vert=c$ oppure $\vert\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\vert=\vert\overline{P_1F_1}-\overline{P_1F_2}\vert$

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Elementi dell'iperbole

Nell'iperbole si distinguono alcuni elementi fondamentali:

$F_1$ e $F_2$ sono i fuochi dell'iperbole;
il punto medio tra $F_1$ e $F_2$ è il centro dell'iperbole;
la distanza tra $F_1$ e $F_2$ è la distanza focale, indicata con $2c$ .

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Vertici e assi

Si chiamano vertici dell'iperbole i suoi punti di intersezione con gli assi, dunque, per determinarli, occorre mettere a sistema l'equazione dell'iperbole con quella dell'asse su cui giacciono i fuochi. Si possono fare delle distinzioni:

se i fuochi giacciono sull'asse delle $x$ , le intersezioni con tale asse si dicono vertici reali e hanno coordinate $(-a;0)$ e $(a;0)$ , mentre i punti $(0;-b)$ e $(0;b)$ , non appartenenti all'iperbole, sono detti vertici non reali.
se i fuochi giacciono sull'asse delle $y$ , le intersezioni con tale asse si dicono vertici reali e hanno coordinate $(0;-b)$ e $(0;b)$ , mentre i punti $(-a;0)$ e $(a;0)$ non appartenenti all'iperbole, sono detti vertici non reali.

Il segmento avente come estremi i vertici reali è detto asse trasverso, mentre quello con estremi i vertici non reali è detto asse non trasverso.

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Equazione dell'iperbole coi fuochi sull'asse orizzontale

L'equazione dell'iperbole coi fuochi sull'asse orizzontale è $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ .

DIMOSTRAZIONE

1.	Si considerino $F_1(-c;0)$ e $F_2(c;0)$ i due fuochi e sia $P(x;y)$ un punto sull'iperbole
2.	Dalla formula relativa la distanza tra due punti si ricava che $\overline{PF_1}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$ e $\overline{PF_2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
3.	Quindi $\vert \overline{PF_1}-\overline{PF_2}\vert =\vert \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\vert=2a$ in cui $2a$ indica la costante derivante dalla differenza delle distanze di $P$ da ciascuno dei fuochi
4.	Eseguendo i calcoli si ottiene l'equazione dell'iperbole in cui si pone $b^2$ come la differenza tra il quadrato della distanza focale e il quadrato di $a$ (si può scrivere $b^2=c^2-a^2$ ).

Equazione dell'iperbole coi fuochi sull'asse verticale

L'equazione dell'iperbole coi fuochi sull'asse verticale è $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ .

DIMOSTRAZIONE

1.	Si considerino $F_1(0;-c)$ e $F_2(0;c)$ i due fuochi e $P(x;y)$ un punto sull'iperbole
2.	Dalla formula relativa la distanza tra due punti si ricava che $\overline{PF_1}=\sqrt{x^2+(y+c)^2}$ e $\overline{PF_2}=\sqrt{x^2+(y-c)^2}$
3.	Quindi $\vert \overline{PF_1}-\overline{PF_2}\vert =\vert \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\vert=2a$ in cui $2a$ indica la costante derivante dalla differenza delle distanze di $P$ da ciascuno dei due fuochi
4.	Eseguendo i calcoli si ottiene l'equazione dell'iperbole in cui si pone $b^2$ come la differenza tra il quadrato della distanza focale e il quadrato di $a$ (si può scrivere $b^2=c^2-a^2$ )

Coordinate dei fuochi

Iperbole coi fuochi sull'asse $x$

Le coordinate dei fuochi sull'asse $x$ sono rispettivamente $F_1(-\sqrt{a^2+b^2};0)$ e $F_2(\sqrt{a^2+b^2};0)$ .

DIMOSTRAZIONE

1.	Si indichi $F_1(-c;0)$ e $F_2(c;0)$
2.	Si consideri che $b^2=c^2-a^2$ , da cui deriva $c^2=a^2+b^2$ . Quindi $c=\sqrt{a^2-b^2}$

Iperbole coi fuochi sull'asse $y$

Le coordinate dei fuochi sull'asse $y$ sono rispettivamente $F_1(0;-\sqrt{a^2+b^2})$ e $F_2(\sqrt{a^2+b^2};0)$ .

DIMOSTRAZIONE

1.	Si indichi $F_1(0;-c)$ e $F_2(0;c)$
2.	Si consideri che $b^2=c^2-a^2$ , da cui deriva $c^2=a^2+b^2$ . Quindi $c=\sqrt{a^2+b^2}$

Rappresentare l'iperbole

PROCEDIMENTO

1.	Trovare i vertici dell'iperbole sapendo che sono: $A_1(-a;0)$ , $A_2(a;0)$ , $B_1(0;-b)$ e $B_2(0;b)$
2.	Disegnare il rettangolo con i lati paralleli agli assi e passanti per ciascuno dei quattro vertici dell'iperbole
3.	Rappresentare gli asintoti dell'iperbole, ossia le due rette su cui giacciono le diagonali del rettangolo. Questi hanno equazioni $y=\dfrac{b}{a}x$ e $y=-\dfrac{b}{a}x$
4.	A seconda dell'asse su cui sono i fuochi, applicare la formula per ricavarne le coordinate. Si verifica che tutti i punti dell'iperbole restano fuori dal rettangolo e interni alle porzioni di piano comprese dagli asintoti, i quali non verranno mai intersecati, in cui si trovano anche i fuochi.

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Eccentricità

L'eccentricità è il rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso, si identifica con $e$ e indica quanto i rami dell'iperbole si presentano aperti.
Considerando che $e>1$ , più $e$ aumenta più i rami dell'iperbole risultano aperti.

Iperbole coi fuochi sull'asse x

$e=\dfrac{2c}{2a}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$

Iperbole coi fuochi sull'asse y

$e=\dfrac{2c}{2b}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$

Operare con l'equazione di un'iperbole

Ricavare l'equazione di un'iperbole

Per scrivere l'equazione di un'iperbole è sufficiente conoscere i valori di $a$ e $b$ . Per farlo è necessario avere due informazioni sull'iperbole che permettano di scrivere un sistema con incognite $a$ e $b$ .

Esempio

Determinare l'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse $x$ passante per $P(1;1)$ e fuoco nel punto $F(\sqrt{2};0)$ .

Si pongono a sistema le equazioni $\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}=1$ e $a^2+b^2=2$ e si ricava che $a^2=2-\sqrt{2}$ e $b^2=\sqrt{2}$ . L'equazione ottenuta è quindi $\dfrac{x^2}{2-\sqrt{2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{2}}=1$ .

Ricavare $a$ e $b$ dall'equazione di un'iperbole

È possibile ricavare $a$ e $b$ anche da equazioni che non presentano $1$ al secondo membro.

Esempio

Per calcolare $a$ e $b$ nell'equazione $2x^2-4y^2=8$ occorre dividere tutto per $8$ al fine di ottenere $1$ al secondo membro.

Si ottiene $\dfrac{2}{8}x^2-\dfrac{4}{8}y^2=1$ , quindi $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1$ . Da qui si deduce che $a=2$ e $b=\sqrt{2}$ .