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Il teorema di Talete

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Insegnante: Claudia

Riassunto

Il Teorema di Talete

Enunciato

Considerato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali rr e ss, i segmenti compresi fra le rette parallele che si formano sulla prima trasversale sono direttamente proporzionali ai segmenti che si formano fra le stesse rette parallele sulla seconda trasversale.

In formule: AB:A′B′=BC:B′C′AB : A'B' = BC : B'C'​​



Matematica; Teoremi; 1a superiore; Il teorema di Talete

​Ricorda: bisogna fare attenzione all'ordine delle trasversali nella formula! Se a sinistra dell'uguaglianza metti per primo un segmento della prima trasversale, a destra dell'uguaglianza devi rispettare lo stesso ordine, non puoi invertirlo.



Formule inverse

A partire dall'equivalenza dell'enunciato, è possibile ricavare le formule inverse.

Trova ABAB​​

​AB=A′B′⋅BCB′C′AB = \dfrac{A'B' \cdot BC}{B'C'}​​

​Trova BCBC​

​BC=AB⋅B′C′A′B′BC = \dfrac{AB \cdot B'C'}{A'B'}​​

​Trova A′B′A'B'​

​A′B′=AB⋅B′C′BCA'B' = \dfrac{AB \cdot B'C'}{BC}​​

​Trova B′C′B'C'​

​B′C′=BC⋅A′B′ABB'C' = \dfrac{BC \cdot A'B'}{AB}​​

 

Esempio

​Calcolare A′B′A'B'​​ sapendo che AB=1BC=78B′C′=34AB=1 \quad BC=\dfrac{7}{8} \quad B'C'=\dfrac{3}{4}.

Matematica; Teoremi; 1a superiore; Il teorema di Talete

Per il teorema di Talete, AB:A′B′=BC:B′C′AB : A'B' = BC : B'C'.
Per la formula inversa, A′B′=AB⋅B′C′BCA'B' = \dfrac{AB \cdot B'C'}{BC}​.
Sostituendo i valori, si ottiene A′B′=34:78=34⋅87=67A'B' = \dfrac{3}{4}: \dfrac{7}{8}= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{7}= \dfrac{6}{7}.



Dimostrazione

Ipotesi: b//cb // c

​Tesi: AB:A′B′=BC:B′C′AB:A'B'=BC:B'C'​​
Matematica; Teoremi; 1a superiore; Il teorema di Talete
1.
Date due rette parallele b, cb, \ c, traccia due trasversali che si incontrano nel punto AA. Le intersezioni tra le rette parallele e le trasversali individuano dei segmenti che definisci BCBC e B′C′B'C'.​
2.
Considera i triangoli CBB′, C′BB′CBB', \ C'BB'. Essi hanno:
  •  la base BB′BB' in comune;
  •  le altezze equivalenti poiché comprese fra due lati BB′BB'​ e CC′CC'​ paralleli fra loro.
Segue che le aree si equivalgono, cioè AreaCBB′=AreaC′BB′Area_{CBB'} = Area_{C'BB'}.
3.
Vale la relazione AreaCBB′:AreaABB′=AreaC′BB′:AreaABB′Area_{CBB'} : Area_{ABB'} = Area_{C'BB'} : Area_{ABB'} .
4.
Considera i triangoli CBB′,ABB′CBB', ABB'​. Prendendo come basi di riferimento CBCB e ABAB, essi hanno la stessa altezza B′HB'H.
Segue che ​AreaCBB′=CB⋅B′H2Area_{CBB'} = \dfrac{CB \cdot B'H}{2}  e AreaABB′=AB⋅B′H2Area_{ABB'} = \dfrac{AB \cdot B'H}{2} . 
Allora AreaCBB′:AreaABB′=CB⋅B′H2:AB⋅B′H2=CB:ABArea_{CBB'} : Area_{ABB'} = \dfrac{CB \cdot B'H}{2} : \dfrac{AB \cdot B'H}{2} = CB : AB.​​​
5.
​Considera i triangoli C′BB′,ABB′C'BB', ABB'​. Ripetendo lo stesso ragionamento del punto 4., usando le basi B′C′B'C'​ e AB′AB'​, i due triangoli hanno la stessa altezza BKBK​. Ne consegue che AreaC′BB′:AreaABB′=C′B′:AB′Area_{C'BB'} : Area_{ABB'} = C'B' : AB'​
6.
Si può impostare la proporzione AreaCBB′:AreaABB′=AreaC′BB′:AreaABB′Area_{CBB'} : Area_{ABB'} = Area_{C'BB'} : Area_{ABB'}.​
Inserendo le lettere e operando algebricamente si ottiene
 CB:AB=C′B′:AB′→CBAB=C′B′AB′→CBC′B′=ABAB′→CB:C′B′=AB:AB′CB : AB = C'B' : AB' \to\dfrac{CB}{AB} = \dfrac{C'B'}{AB'} \to \dfrac{CB}{C'B'} = \dfrac{AB}{AB'}\to CB : C'B' = AB : AB'
Il teorema è dimostrato.


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