Nella divisione tra polinomi, il risultato può non essere un polinomio, bensì una frazione in cui numeratore e denominatore sono polinomi. In questo senso, si dice frazione algebrica una frazione $\dfrac{N}{D}$ , dove sia il numeratore sia il denominatore sono due polinomi e $D$ è diverso dal polinomio nullo.

Esempio

$\dfrac{11x^2-5x}{18x^3+3x+2}$

Nota bene: ciascun monomio o polinomio può essere considerato una frazione algebrica, immaginando che il denominatore sia $1$ .

Esempio

Il polinomio $31x^2+3x+9$ si può pensare come la frazione $\dfrac{31x^2+3x+9}{1}$ .

Condizioni di esistenza

Affinché abbia senso, il denominatore di una frazione algebrica non deve essere nullo. Le condizioni di esistenza (C.E.) rappresentano le disuguaglianze per cui il denominatore deve essere impostato diverso da $0$ .

Esempio

Per la frazione algebrica $\dfrac{12+x+x^2}{x-11}$ le condizioni di esistenza sono rappresentate dalla disuguaglianza $x-11 \neq0$ da cui $x \neq 11$ .

Frazioni algebriche equivalenti

Due frazioni algebriche si dicono equivalenti se il loro prodotto in croce è uguale.

In formule: $N\cdot G=D\cdot F \implies \dfrac{N}{D} \equiv \dfrac{F}{G}$

Esempio

$\dfrac{3(x-1)}{x^2-1}$ e $\dfrac{3}{x+1}$ sono equivalenti.
Infatti, se moltiplico in croce ottengo $3(x-1)(x+1)$ e $3x^2-3$ , che portano allo stesso risultato: $3x^2-3=3x^2-3$ .

Semplificazione delle frazioni algebriche

Applicando la proprietà invariantiva, è possibile ridurre una frazione algebrica ai minimi termini.

procedimento

1.	Definisco le condizioni di esistenza
2.	Raccolgo eventuali termini in comune tra numeratore e denominatore
3.	Divido numeratore e denominatore per le quantità trovate al punto 2.

Esempio

$\dfrac{3x^3+12x^2+18x}{9x^2+15x}$ si può ridurre ai minimi termini?

1.	$9x^2+15x\ne0 \iff3x(3x+5)\ne0 \iff x\ne0 \quad \text{e}\quad x\ne-\dfrac{5}{3}$ Allora le condizioni di esistenza sono $x\ne0 \quad \text{e}\quad x\ne-\dfrac{5}{3}$ .
2.	$\dfrac{3x^3+12x^2+18x}{9x^2+15x}=\dfrac{3x(x^2+4x+5)}{3x(3x+5)}$
3.	$\dfrac{x^2+4x+5}{3x+5}$ è la frazione ridotta ai minimi termini.

Nota bene: posso semplificare solo i fattori, mai gli addendi.

Esempio

$\dfrac{3x+7x^2}{5x^3+3x}$ non può essere semplificata in $\dfrac{7x^2}{5x^3}$ .

Operazioni con le frazioni algebriche

Addizione e sottrazione

Date due o più frazioni algebriche, il risultato della loro somma algebrica è una frazione algebrica avente al denominatore il denominatore degli addendi se è lo stesso per tutte quelle di partenza, altrimenti il loro minimo comune multiple, e al numeratore la somma dei numeratori, eventualmente aggiustata se differiscono a livello di denominatore.

In formule: $\dfrac{N}{D}-\dfrac{F}{D}+ \dfrac{L}{D}=\dfrac{N-F+L}{D}$ .

procedimento

1.	Imposto le condizioni di esistenza
2.	Calcolo il denominatore comune
3.	Risolvo
4.	Riscrivo la frazione algebrica in forma compatta

Esempio

$\dfrac{4x+2}{7x}+\dfrac{5x^2}{7x(x+2)}$

1.	$x\neq0 , x=-2$
2.	$\dfrac{(4x+2)(x+2)}{7x(x+2)}+\dfrac{5x^2}{7x(x+2)}$
3.	$\dfrac{(4x+2)(x+2)+5x^2}{7x(x+2)}$
4.	$\dfrac{9x^2+10x+4}{7x^2+14x}$

Moltiplicazione

Il risultato della moltiplicazione tra due o più frazioni algebriche è una frazione algebrica che ha al numeratore il prodotto tra i numeratori mentre al denominatore, il prodotto fra i denominatori.

In formule: $\dfrac{N}{D}\cdot \dfrac{L}{M}=\dfrac{NL}{DM}$

Esempio

$\dfrac{x+4}{x^2+3x}\cdot\dfrac{x^3+2x}{x^2-16}$

Raccolgo i termini simili	$\dfrac{x+4}{x(x+3)}\cdot\dfrac{x(x^2+2)}{(x-4)(x+4)}$
Semplifico in croce i termini simili	$\dfrac{1}{x+3}\cdot\dfrac{x^2+2}{x-4}$
Il risultato finale è	$\dfrac{x^2+2}{(x+3)(x-4)}$

Divisione

La divisione tra frazioni algebriche si risolve attraverso la moltiplicazione della prima per il reciproco della seconda.

In formule: $\dfrac{N}{D}:\dfrac{L}{M}=\dfrac{N}{D}\cdot\dfrac{M}{L}= \dfrac{NM}{DL}$ .

Esempio

$\dfrac{x+3}{x^2+5}:\dfrac{x^2-9}{x+7}$

Scompongo il binomio del secondo termine	$\dfrac{x+3}{x^2+5}:\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+7}$
Riscrivo la divisione come moltiplicazione	$\dfrac{x+3}{x^2+5}\cdot\dfrac{x+7}{(x+3)(x-3)}$
Semplifico in croce	$\dfrac{1}{x^2+5}\cdot\dfrac{x+7}{(x-3)}$
Il risultato finale è	* $\dfrac{x+7}{(x^2+5)(x-3)}$ *

Potenze

La potenza di una frazione algebrica è una frazione algebrica che ha al numeratore il numeratore della frazione algebrica originaria elevato all'esponente e al denominatore il denominatore della frazione algebrica originaria elevata all'esponente.

In formule: $\left(\dfrac{N}{D}\right)^n=\dfrac{N^n}{D^n}$

Esempio

$\left(\dfrac{x+2}{x^2+7}\right)^3=\dfrac{(x+2)^3}{(x^2+7)^3}$

Le equazioni fratte

Se all'interno di un'equazione l'incognita compare in uno o più dei denominatori dei termini che la costituiscono, allora l'equazione si dice fratta.

Esempio

$7x+5 + \dfrac{3x^2}{x+9}=2$

Risolvere le equazioni fratte

procedimento

1.	Imposto le condizioni di esistenza
2.	Definisco il minimo comune denominatore
3.	Porto le frazioni al comune denominatore
4.	Riscrivo l'equazione portando i termini da un lato
5.	Risolvo

Esempio

$\dfrac{2x+5}{x-1}+1=\dfrac{5}{x+1}$

1.	$C.E. : x \ne 1 \quad x \ne-1$
2.	Il m.c.m. tra i denominatori è $(x-1)(x+1)$
3.	$\dfrac{(2x+5)(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
4.	$\dfrac{(2x+5)(x+1)+(x-1)(x+1)-5(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0$
5.	$\dfrac{(2x+5)(x+1)+(x-1)(x+1)-5(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0 \iff \\ (2x+5)(x+1)+(x-1)(x+1)-5(x-1)=0\iff\\2x^2+7x+5+x^2-1-5x+5=0 \iff \\3x^2+2x+9=0 \iff x_1,_2=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot27}}{6}$

Concludo che l'equazione è impossibile perché il radicando è negativo.

Equazioni letterali

Le equazioni letterali, oltre all'incognita, presentano una lettera che prende il nome di parametro. Tale tipologia di equazione, nel momento in cui il parametro assume valori specifici, diventa un'equazione numerica.

Ricorda: se l'incognita non è presente al denominatore, l'equazione letterale è intera, altrimenti è un'equazione letterale fratta.

Esempi

$4a+7ax=21x$ è un'equazione letterale intera.

$\dfrac{3a+5}{2ax-4x}-\dfrac{2}{6ax-12x}=3$ è un'equazione letterale fratta.

Risolvere le equazioni letterali intere

procedimento

1.	Porto da un lato dell'uguale i termini contenenti l'incognita e dall'altro lato i termini noti
2.	Raccolgo, se necessario, riducendomi alla forma $Ax=B$
3.	Risolvo l'equazione ottenendo la forma $x=\dfrac{B}{A}$
4.	Imposto le condizioni di esistenza del risultato ottenuto

Nota bene: per ogni valore specifico di $a$ si ottiene una soluzione diversa.

Esempio

$4a+7ax=21x$

1.	$21x-7ax=4a$
2.	$7x(3-7a)=4a$
3.	$x=\dfrac{4a}{7(3-7a)}$
4.	$C.E: a\neq\dfrac{3}{7}$

Per $a=1$ si ottiene $x=\dfrac{4}{7(3-7)}=\dfrac{4}{7\cdot -4}=-\dfrac{1}{7}$ .

Risolvere le equazioni letterali fratte

procedimento

1.	Imposto le C.E.
2.	Raccolgo termini simili
3.	Calcolo il denominatore comune
4.	Porto le frazioni a denominatore comune
5.	Semplifico svolgendo i calcoli
6.	Risolvo

Nota bene: per ogni diverso valore di $a$ si ottiene uno specifico valore di $x$ .

Esempio

$\dfrac{3a+5}{2ax-4x}-\dfrac{2}{6ax-12x}=3$

1.	$x\neq0$ e $a\neq2$
2.	$\dfrac{3a+5}{2x(a-2)}-\dfrac{2}{6x(a-2)}=3$
3.	Il m.c.m. tra i denominatori è $6x(a-2)$
4.	$\dfrac{3\cdot(3a+5)}{3\cdot 2x(a-2)}-\dfrac{2}{6x(a-2)}=\dfrac{3\cdot6x(a-2)}{6x(a-2)}$
5.	$\dfrac{9a+15-2-18x(a-2)}{6x(a-2)}=0$
6.	$\dfrac{9a+15-2-18x(a-2)}{6x(a-2)}=0 \iff9a+15-2-18a+36x=0 \iff36x=9a-13$

Ad esempio, per $a=1$ si ottiene $36x=9-13 \to 36x=-4 \to x=-\dfrac{1}{9}$ .

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Quando un'equazione si dice fratta?

Se all'interno di un'equazione l'incognita compare in uno o più dei denominatori dei termini che la costituiscono, allora si dice fratta.

Cosa sono le condizioni di esistenza?

Affinchè abbia senso, il denominatore di una frazione algebrica non deve essere nullo. Ciò significa che le condizioni di esistenza rappresentano le disuguaglianze per cui il denominatore deve essere impostato come diverso da 0.

Quando un'equazione si dice fratta?

Una frazione algebrica è una una frazione avente sia al numeratore sia al denominatore un polinomio.

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Sono Vulpy, il tuo compagno di studio AI! Studiamo insieme.

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