L'ellisse e la sua equazione

Definizione

Dati due punti $F_1$ e $F_2$ , l'ellisse è l'insieme di punti $P$ del piano tali per cui la somma delle loro distanze da $F_1$ e $F_2$ è costante, cioè che $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=costante$ oppure $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{P_1F_1}+\overline{P_1F_2}$ .

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Gli elementi dell'ellisse

Nell'ellisse si distinguono alcuni elementi fondamentali:

$F_1$ e $F_2$ sono i fuochi dell'ellisse;
il punto medio tra $F_1$ e $F_2$ è definito centro dell'ellisse;
la distanza tra $F_1$ e $F_2$ è detta distanza focale (per convenzione viene indicata con $2c$ ).

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I vertici e gli assi

i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi, ricavabili mettendo a sistema l'equazione dell'ellisse stessa con ciascuna delle due equazioni degli assi, prendono il nome di vertici dell'ellisse;
i segmenti aventi come estremi i punti di intersezione rispettivamente con l'asse $x$ e con l'asse $y$ sono definiti assi dell'ellisse;
se l'ellisse ha i fuochi sull'asse $x$ , l'asse avente come estremi i punti di intersezione con l'asse $x$ è detto asse maggiore mentre quello con estremi i punti di intersezione con l'asse $y$ è detto asse minore; reciprocamente, se l'ellisse ha i fuochi sull'asse $y$ , l'asse avente come estremi i punti di intersezione con l'asse $y$ è detto asse maggiore mentre quello con estremi i punti di intersezione con l'asse $x$ è detto asse minore;
ciascuno degli assi è suddiviso in due semiassi (per ciascuna ellisse vi sono due semiassi minori e due semiassi maggiori).

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Ricorda: la somma delle distanze tra un qualsiasi punto dell'ellisse e ciascun singolo fuoco è sempre maggiore della distanza focale.

Equazione dell'ellisse coi fuochi sull'asse $x$

L'equazione dell'ellisse avente i fuochi sull'asse $x$ è $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ .

DIMOSTRAZIONE

1.	Indicando $F_1(-c;0)$ e $F_2(c;0)$ i due fuochi e $P(x;y)$ come un punto sull'ellisse si può affermare che $\overline{PF_1}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$ e $\overline{PF_2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
2.	Dalla definizione di ellisse si deduce che $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$ in cui $2a$ indica la costante derivante dalla somma delle distanze di $P$ da ciascuno dei fuochi.
3.	Eseguendo i calcoli si ottiene l'equazione dell'ellisse in cui si pone $b^2$ come la differenza tra il quadrato di $a$ e il quadrato della distanza focale (si può scrivere $b^2=a^2-c^2$ ).

Equazione dell'ellisse coi fuochi sull'asse $y$

L'equazione dell'ellisse avente i fuochi sull'asse $y$ è $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ .

DIMOSTRAZIONE

1.	Indicando $F_1(0;-c)$ e $F_2(0;c)$ i due fuochi e $P(x;y)$ come un punto sull'ellisse si può affermare che $\overline{PF_1}=\sqrt{x^2+(y+c)^2}$ e $\overline{PF_2}=\sqrt{x^2+(y-c)^2}$
2.	Dalla definizione di ellisse si deduce che $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$ , in cui $2a$ indica la costante derivante dalla somma delle distanze di $P$ da ciascuno dei due fuochi
3.	Eseguendo i calcoli si ottiene l'equazione dell'ellisse in cui si pone b^2 come la somma tra il quadrato di $a$ e il quadrato della distanza focale (si può scrivere $b^2=a^2+c^2$ )

Coordinate dei fuochi

Ellisse coi fuochi sull'asse x

Le coordinate dei fuochi sono rispettivamente $F_1(-\sqrt{a^2-b^2};0)$ e $F_2(\sqrt{a^2-b^2};0)$ .

DIMOSTRAZIONE

1.	Si indichi $F_1(-c;0)$ e $F_2(c;0)$
2.	Si consideri che $b^2=a^2-c^2$ , da cui deriva $c^2=a^2-b^2$ . Quindi $c=\sqrt{a^2-b^2}$

Ellisse coi fuochi sull'asse y

Le coordinate dei fuochi sono rispettivamente $F_1(0;-\sqrt{b^2-a^2})$ e $F_2(0;\sqrt{b^2-a^2})$ .

DIMOSTRAZIONE

1.	Si indichi $F_1(-c;0)$ e $F_2(c;0)$
2.	Si consideri che $b^2=a^2+c^2$ , da cui deriva $c^2=b^2-a^2$ . Quindi $c=\sqrt{b^2-a^2}$

Rappresentare l'ellisse

PROCEDIMENTO

1.	Trovare i vertici dell'ellisse sapendo che sono: $A_1(-a;0)$ , $A_2(a;0)$ , $B_1(0;-b)$ e $B_2(0;b)$
2.	Disegnare il rettangolo con i lati paralleli agli assi e passanti per ciascuno dei quattro vertici dell'ellisse
3.	A seconda dell'asse su cui sono i fuochi, applicare la formula per ricavarne le coordinate

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Eccentricità

L'eccentricità è il rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse maggiore, si identifica con $e$ e indica quanto l'ellisse si presenta schiacciata.
Considerando che $0\leq e<1$ , più $e$ aumenta più l'ellisse risulta schiacciata sull'asse maggiore.

Ellisse coi fuochi sull'asse x

$e=\dfrac{2c}{2a}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$

Ellisse coi fuochi sull'asse y

$e=\dfrac{2c}{2b}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}$

Ricorda: per $e=0$ i due fuochi coincidono e si ottiene una circonferenza.

Operare con l'equazione di un'ellisse

Ricavare l'equazione di un'ellisse

Per scrivere l'equazione di un'ellisse è sufficiente conoscere i valori di $a$ e $b$ . Per farlo è necessario avere due informazioni sull'ellisse che permettano di scrivere un sistema con incognite $a$ e $b$ .

Esempio

Determinare l'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse $x$ passante per $P(2;3)$ ed eccentricità $\dfrac{1}{2}$ .

Si pongono a sistema le equazioni $\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}=1$ e $\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=1$ e si ricava che $a^2=16$ e $b^2=12$ . L'equazione ottenuta è quindi $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ .

Ricavare $a$ e $b$ dall'equazione di un'ellisse

È possibile ricavare $a$ e $b$ anche da equazioni che non presentano $1$ al secondo membro.

Esempio

Per calcolare $a$ e $b$ nell'equazione $3x^2+y^2=9$ occorre dividere tutto per $9$ al fine di ottenere $1$ al secondo membro.

Si ottiene $\dfrac{3}{9}x^2+\dfrac{1}{9}y^2=1$ , quindi $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{9}=1$ . Da qui si deduce che $a=\sqrt{3}$ e $b=3$ .