​​L'ellisse e la sua equazione

Definizione

Dati due punti $$F_1$$ e $$F_2$$, l'ellisse è l'insieme di punti $$P$$ del piano tali per cui la somma delle loro distanze da $$F_1$$ e $$F_2$$ è costante, cioè che $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=costante$$ oppure $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{P_1F_1}+\overline{P_1F_2}$$.​

​​Gli elementi dell'ellisse

Nell'ellisse si distinguono alcuni elementi fondamentali:

• $$F_1$$ e $$F_2$$ sono i fuochi dell'ellisse;
  
• il punto medio tra $$F_1$$ e $$F_2$$ è definito centro dell'ellisse;
• la distanza tra $$F_1$$ e $$F_2$$ è detta distanza focale (per convenzione viene indicata con $$2c$$).

I vertici e gli assi

• i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi, ricavabili mettendo a sistema l'equazione dell'ellisse stessa con ciascuna delle due equazioni degli assi, prendono il nome di vertici dell'ellisse;
• i segmenti aventi come estremi i punti di intersezione rispettivamente con l'asse $$x$$ e con l'asse $$y$$ sono definiti assi dell'ellisse;
• se l'ellisse ha i fuochi sull'asse $$x$$, l'asse avente come estremi i punti di intersezione con l'asse $$x$$ è detto asse maggiore mentre quello con estremi i punti di intersezione con l'asse $$y$$ è detto asse minore; reciprocamente, se l'ellisse ha i fuochi sull'asse $$y$$, l'asse avente come estremi i punti di intersezione con l'asse $$y$$ è detto asse maggiore mentre quello con estremi i punti di intersezione con l'asse $$x$$ è detto asse minore;​
• ciascuno degli assi è suddiviso in due semiassi (per ciascuna ellisse vi sono due semiassi minori e due semiassi maggiori).
  

Ricorda: la somma delle distanze tra un qualsiasi punto dell'ellisse e ciascun singolo fuoco è sempre maggiore della distanza focale.

Equazione dell'ellisse coi fuochi sull'asse $$x$$

L'equazione dell'ellisse avente i fuochi sull'asse $$x$$ è $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$.

DIMOSTRAZIONE

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Equazione dell'ellisse coi fuochi sull'asse $$y$$

L'equazione dell'ellisse avente i fuochi sull'asse $$y$$ è $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$.

DIMOSTRAZIONE

Coordinate dei fuochi

​​Ellisse coi fuochi sull'asse x

Le coordinate dei fuochi sono rispettivamente $$F_1(-\sqrt{a^2-b^2};0)$$ e $$F_2(\sqrt{a^2-b^2};0)$$.

DIMOSTRAZIONE

Ellisse coi fuochi sull'asse y

Le coordinate dei fuochi sono rispettivamente $$F_1(0;-\sqrt{b^2-a^2})$$ e $$F_2(0;\sqrt{b^2-a^2})$$.

DIMOSTRAZIONE

Rappresentare l'ellisse

​​PROCEDIMENTO

Eccentricità

L'eccentricità è il rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse maggiore, si identifica con $$e$$ e indica quanto l'ellisse si presenta schiacciata.
Considerando che $$0\leq e<1$$, più $$e$$ aumenta più l'ellisse risulta schiacciata sull'asse maggiore.

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Ellisse coi fuochi sull'asse x

$$e=\dfrac{2c}{2a}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$

Ellisse coi fuochi sull'asse y

$$e=\dfrac{2c}{2b}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}$$

Ricorda: per $$e=0$$ i due fuochi coincidono e si ottiene una circonferenza.

Operare con l'equazione di un'ellisse

​​Ricavare l'equazione di un'ellisse

Per scrivere l'equazione di un'ellisse è sufficiente conoscere i valori di $$a$$ e $$b$$. Per farlo è necessario avere due informazioni sull'ellisse che permettano di scrivere un sistema con incognite $$a$$ e $$b$$.

Esempio

Determinare l'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse $$x$$ passante per $$P(2;3)$$ ed eccentricità $$\dfrac{1}{2}$$. 

Si pongono a sistema le equazioni $$\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}=1$$ e $$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=1$$ e si ricava che $$a^2=16$$ e $$b^2=12$$. L'equazione ottenuta è quindi $$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$$.

Ricavare $$a$$ e $$b$$ dall'equazione di un'ellisse

È possibile ricavare $$a$$ e $$b$$ anche da equazioni che non presentano $$1$$ al secondo membro.​

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Esempio

Per calcolare $$a$$ e $$b$$ nell'equazione $$3x^2+y^2=9$$ occorre dividere tutto per $$9$$ al fine di ottenere $$1$$ al secondo membro.

Si ottiene $$\dfrac{3}{9}x^2+\dfrac{1}{9}y^2=1$$, quindi $$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{9}=1$$. Da qui si deduce che $$a=\sqrt{3}$$ e $$b=3$$.