Limite di f(x) per x che tende a un numero

Limite finito

Sia $f(x)$ una funzione definita nel dominio $D$ e siano $x_0,l, \varepsilon \in \mathbb{R}$ . Si dice che $f(x)$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ se, $\forall \varepsilon >0$ esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che $\forall x \in$ $I \cap D$​, escluso il punto $x_0$, vale: $|f(x) - l|<\varepsilon$. In formule: $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$.​

Nota bene: in altre parole qualsiasi numero $\varepsilon$ reale positivo scegli, esiste un raggio $r$ per cui $\forall x$ che sta sia nel dominio che in $(x_0 - r;x_0) \cup (x_0;x_0+r)$ vale: $|f(x) - l|<\varepsilon$.​

Esempi

Nota bene: 

• Non sempre un limite esiste!
  
• In un limite di $f(x)$ per $x$ che tende a un numero puoi provare a calcolare il limite sostituendo $x_0$ alla $x$.
• In un limite di $f(x)$ per $x$ che tende a un numero con $f(x)$ razionale, è bene prima scomporre la funzione!

Limite infinito

Sia $f(x)$ una funzione definita nel dominio $D$ e siano $x_0, \varepsilon \in \mathbb{R}$. SI dice che $f(x)$ tende a $+ \infty$ (oppure a $- \infty$) per $x$ che tende a $x_0$, se $\forall \varepsilon >0$ esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che $\forall x \in I \cap D - \{x_0\}$ vale: $f(x) > \varepsilon$ (oppure $f(x)<-\varepsilon$). In formule: $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = + \infty, \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = - \infty$.​

Esempi

	$\\ \lim_{x \rightarrow 0} ln(x) = - \infty \\$​​ Per $x$ che tende a $0$, il grafico mostra che la funzione decresce e crolla verso il basso. Un altro modo per vederlo è attraverso i valori della funzione: $ln(10^{-50}) \approx -115,13 \\ ln(10^{-2000}) \approx -4605$ e così via.​
	$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{12}{x} = + \infty \\$​​ Per $x$ che tende a $0$, il grafico mostra che la funzione cresce improvvisamente. Un altro modo di vederlo è attraverso i valori della funzione: $\dfrac{12}{0,001} = 12^{\cdot}000 \\\dfrac{12}{10^{-15}} = 1,2 \cdot 10^{16}$ e così via.​

Nota bene: nel limite finito si dice che la funzione tende a un numero, nel limite infinito si dice che la funzione diverge positivamente (caso $+\infty$) o diverge negativamente (caso $-\infty$).

Limite destro e limite sinistro​

Limite destro vuol dire che la $x$ sulla retta dei numeri reali tende a $x_0$ da destra, cioè si avvicina assumendo valori superiori a $x_0$. In questo caso si scrive $lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x)$ e si prende in considerazione solo il comportamento che la funzione assume a destra di $x_0$.

Limite sinistro vuol dire che la $x$ sulla retta dei numeri reali tende a $x_0$ da sinistra, cioè si avvicina assumendo valori inferiori a $x_0$. In questo caso si scrive $lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x)$ e si prende in considerazione il comportamento che la funzione assume a sinistra di $x_0$.

Esempi

	​$lim_{x \rightarrow -1^- \frac{}{}} \frac{1}{x+1} = - \infty \\[0.2cm] lim_{x \rightarrow -1^+ \frac{}{}} \frac{1}{x+1} = + \infty$​​
	​$lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^- \frac{ }{ }} tg(x) = + \infty \\[0.2cm] lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+ \frac{ }{ }} tg(x) = -\infty$​​
	​$lim_{x \rightarrow 3^- \frac{ }{ }} f(x) = 4 \\[0.2cm] lim_{x \rightarrow 3^+ \frac{ }{ }} f(x) = 2$​​

Nota bene: i​l limite può avere un solo valore, quindi nel caso in cui il limite destro non coincide con il limite sinistro (eccetto nel caso in cui il valore sia infinito e a cambiare sia solo il segno, come nel primo e nel secondo esempio) allora il limite non esiste!

Verifica del limite​​

Verificare un limite vuol dire verificare che il risultato rispetta la definizione di limite.

Hai $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$, devi mostrare che $\forall \varepsilon>0$ esiste un intorno di $x_0$ nel quale vale la seguente disequazione: $|f(x) -l|<\varepsilon$.​

Esempio

Siano $f(x) = ln(2x-5), x_0=3$. Verifica attraverso la definizione quale dei seguenti limiti è quello corretto.

$lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{}{} ln(2x-5)=1; lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{}{} ln(2x-5)=0.$

$|ln(2x-5)-1|<\varepsilon \\ -\varepsilon < ln(2x-5)-1 < \varepsilon \\ -\varepsilon+1 < ln(2x-5) < \varepsilon +1 \\e^{ -\varepsilon+1} < 2x-5 < e^{\varepsilon +1} \\\dfrac{e^{ -\varepsilon+1}+5}{2} < x < \dfrac{e^{\varepsilon +1}+5}{2}$

Pertanto $\forall \varepsilon>0$ l'intorno di $3$ per cui è verificato il limite è $\dfrac{e^{ -\varepsilon+1}+5}{2} < x < \dfrac{e^{\varepsilon +1}+5}{2}$. Ma puoi vedere che scegliendo un qualsiasi $\varepsilon$, ad esempio $\varepsilon= 0,1$, ottieni circa: $3,73 < x< 4$. Non è un intorno di $3$.

$|ln(2x-5)-0|<\varepsilon \\\dfrac{e^{ -\varepsilon}+5}{2} < x < \dfrac{e^{\varepsilon}+5}{2}$

Questo è un intorno di $3$, pertanto il limite è verificato.​