Prodotto logico di eventi

Prima di parlare di prodotto logico e di come se ne calcola la probabilità è utile ricordare come si calcola la probabilità condizionata di due eventi.

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata di un evento $$A$$ rispetto a un evento $$B$$, con $$B$$ non impossibile, è: $$p(A|B)= \dfrac {p( A \cap B)}{p(B)}$$ con $$p(B) \not= 0$$.

Se $$A$$ e $$B$$ sono eventi indipendenti allora $$p(A|B)=p(A)$$ e $$p(B|A)=p(B)$$.

Probabilità del prodotto logico di eventi 

La probabilità del prodotto logico (o intersezione) di due eventi $$A$$ e $$B$$ è uguale al prodotto tra la probabilità di $$A$$ e la probabilità condizionata di $$A$$​ rispetto a $$B$$.

In formule: $$p( A \cap B) = p( A) \cdot p(B|A)$$​​

Se $$A$$ e $$B$$ sono eventi indipendenti allora $$p( A \cap B) = p( A) \cdot p(B)$$.

Esempio

Si pesca una carta da un mazzo di $$52$$ carte, calcolare la probabilità che venga estratto un asso di picche.

Pescare una carta di cui sono specificati seme e numero significa pescare l'intersezione tra gli eventi $$\text {"esce la carta del seme desiderato"}$$ e $$" \text {esce la carta del numero desiderato}"$$.

Per calcolare la probabilità di estrarre un asso di picche definisco gli eventi:

$$A= \lbrace \text {esce un asso} \rbrace \\ B= \lbrace \text {esce picche} \rbrace$$

Posso quindi, secondo la probabilità classica, scrivere: 

$$p( \text {esce un asso di picche}) = \dfrac { \text {esce l'asso di picche}}{ \text {esce una qualsiasi carta } } = \dfrac {1}{52}$$
Vediamo ora se ottengo lo stesso risultato con la formula del prodotto logico di eventi: 

$$p( A \cap B) = p( A) \cdot p(B|A)$$
$$p(A)= \dfrac {4}{52}$$;
$$p(B|A)= p( \text {esca picche sapendo che è uscito un asso}) = \dfrac {\text {esce l'asso di picche}}{ \text {esce un qualsiasi asso}}= \dfrac {1}{4}$$;
allora: 

$$p( A \cap B) = p( A) \cdot p(B|A) = \dfrac {4}{52} \cdot \dfrac {1}{4}= \dfrac {1}{52}$$