Piano e sua equazione

Definizione

L'equazione generale di un piano in forma cartesiana passante per $$P_0=(x_0;y_0;z_0)$$ e con vettore perpendicolare $$\overline n = (a;b;c)$$ è: $$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$.

In definitiva allora: $$ax+by+cz+d=0$$.

Ricorda: $$a,b,c$$ sono i parametri direttori della direzione normale al piano, mentre $$d$$ è il coefficiente che assorbe i resti di $$x_0,y_0,z_0$$.​

Condizioni per il parallelismo e la perpendicolarità

Dati due piani di equazioni rispettivamente: $$ax+by+cz+d=0$$ e

  $$a'x+b'y+c'z+d'=0$$, allora sono:

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Distanza di un punto dal piano

Dati il piano $$\pi : ax+by+cz+d=0$$ e un punto $$P=(x_P;y_P;z_P)$$ allora la distanza tra il punto e il piano è data da: $$d(P;\pi)=\dfrac{|ax_P+by_p+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$.

Esempio

Trova l'equazione di un piano passante per tre punti.

Siano $$A;B;C$$ tre punti nello spazio. Esiste sempre almeno un piano che li contiene, l'equazione del piano che li contiene si trova imponendo il passaggio per i tre punti nell'equazione cartesiana del piano.

Se i tre punti sono allineati, allora infiniti piani li contengono tutti.

Se $$A=(2;9;0), B=(1;2;-1), C=(5;0;3)$$ trova il piano: