Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità

Definizione

Una variabile casuale $$X$$ si dice discreta se è una funzione definita sullo spazio campionario di un esperimento aleatorio che assume un numero finito o al più un infinito numerabile di valori.

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Esempio

$$X$$="Il numero di cioccolatini mangiati da Mario da un sacchetto di $$20$$ pezzi": i valori che può assumere $$x$$ realizzazione, cioè esito assunto dalla variabile, di $$X$$ sono i naturali compresi tra $$0$$ e $$20$$, allora $$X$$ assume un numero finito di valori.

$$Y$$="Il numero di cioccolatini mangiati nel mondo": i valori che può assumere $$x$$ realizzazione, cioè esito assunto dalla variabile, di $$X$$ sono i naturali tra $$0$$ e $$+ \infin$$, cioè $$X$$ può assumere un numero potenzialmente infinito di valori ma a cui posso dare una collocazione numerica.

Distribuzione di probabilità e funzione di ripartizione

La distribuzione di probabilità di $$X$$ è la funzione $$f(x)$$ tale che:

$$\forall x \isin \Reals$$: $$f(x)=p(X=x)$$

La distribuzione di probabilità è pertanto la funzione che associa ad ogni possibile esito la sua probabilità.

La funzione di ripartizione di $$X$$ è la funzione $$F(x)$$ tale che: 

$$\forall x \isin \R$$: $$F(x)=p(X \leq x)$$

La funzione di ripartizione è quindi la relazione che associa ad ogni possibile esito la sua probabilità cumulata. Pertanto, prima di assumere il primo valore vale $$0$$ e dopo il suo ultimo valore vale $$1$$.​

Valori determinanti

• Il valore medio: $$M(X)=x_1 \cdot p_1+ ... + x_n \cdot p_n$$. L'importanza del valore medio risiede nella legge empirica del caso, per cui raggiunto un certo numero di prove effettuate si tende alla probabilità effettiva dell'evento;
• La varianza: $$Var (X)= M(X^2)-[M(X)]^2$$;
• La deviazione standard: $$\sigma= \sqrt{Var(X)}$$.

Distribuzioni di probabilità notevoli

Si tratta di precise distribuzioni che modellizzano bene diversi fenomeni.

Distribuzione uniforme discreta

Una variabile discreta $$X$$ ha una distribuzione di probabilità uniforme se tutti i valori $$x_1;x_2;...;x_n$$ che può assumere hanno la stessa probabilità.

In formule: $$p(X=x_i)= \dfrac {1}{n}$$ con $$i=1;...;n$$.

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Esempio

Il lancio di un dado è un esperimento aleatorio con distribuzione uniforme discreta poiché ogni faccia ha probabilità $$\dfrac {1}{6}$$ di venire fuori.

Distribuzione binomiale

Una variabile discreta $$X$$ ha una distribuzione di probabilità binomiale di parametri $$n$$ e $$p$$ se assume i valori $$x=1;2;...;n$$​ con $$p(X=x)= \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$.

• $$M(X)=n \cdot p$$
• $$Var(X)=n \cdot p \cdot (1-p)$$
  

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Esempio

Fare delle estrazioni da un'urna in cui sono contenute due tipologie di palline, rimettendo ad ogni giro la pallina estratta nell'urna, è un esperimento aleatorio con distribuzione binomiale.

Se prendiamo un'urna con $$4$$ palline blu e $$3$$ palline rosse, allora $$B=" \text {pesco blu}"$$ ha $$p(B)= \dfrac {4}{7}=p$$, mentre $$R=" \text {pesco rossa}"$$ ha $$p(R)= \dfrac {3}{7}= 1-p= 1- \dfrac {4}{7} = \dfrac {3}{7}$$, per cui se devo calcolare la probabilità di estrarre due palline blu con

$$X=" \text {numero di palline blu estratte su 4 estrazioni}"$$ sarà 

$$p(X=x)= \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ con $$x=2$$, $$n=4$$ e $$p= \dfrac {4}{7}$$.​