Limite di f(x) per x che tende a infinito

Limite finito

Sia $$f(x)$$ una funzione definita in un intervallo $$D$$ illimitato a destra (o a sinistra) e siano $$l, \varepsilon \in \mathbb{R}$$​. Si dice che $$f(x)$$ tende a $$l$$ per $$x$$ che tende a $$+\infty$$ $$(-\infty)$$, se $$\forall \varepsilon >0$$ esiste un intorno $$I$$ di $$+\infty$$ $$(-\infty)$$ tale che $$\forall x \in I\cap D$$ vale: $$|f(x)-l|<\varepsilon$$ . In formule: $$lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = l, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = l$$.​

Nota bene: 

• I​n poche parole qualsiasi numero $$\varepsilon$$ reale positivo scegli, esiste $$a$$ per cui $$\forall x$$ che sta sia nel dominio che in $$(a;+\infty)$$ vale: $$|f(x) - l| <\varepsilon$$. Nel caso $$-\infty$$ l'intorno diventa ovviamente $$(-\infty;a)$$.
• Nel caso di $$x$$ che tende a $$+\infty$$ o $$-\infty$$, non ha senso considerare separatamente i limiti destri e sinistri perché il limite a $$+\infty$$ è già un limite sinistro, in quanto $$x$$ non può avvicinarsi a $$+\infty$$ da destra e per ragioni analoghe il limite a $$-\infty$$ è un limite destro.

​​Esempi

	​$$\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{-x} =0$$​​	Per $$x$$ che tende a $$+\infty$$ il grafico mostra che $$y$$​ tende a $$0$$. Infatti, calcolando alcuni valori della funzione: ​$$e^{-50}\approx 1,93 \cdot 10^{-22}; e^{-100}\approx 3,72 \cdot 10^{-44}$$ e così via.​
	$$\lim_{x \rightarrow -\infty} arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2}\\\lim_{x \rightarrow +\infty} arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}$$	Per $$x$$ che tende a $$-\infty$$ il grafico mostra che $$y$$ tende a $$-\dfrac{\pi}{2}=-90^{\circ}$$. Eseguendo alcuni calcoli infatti: $$arcatan(-200) \approx -89,71^{\circ}\\ arcatan(-5000) \approx -89,99^{\circ}$$ e così via. In modo analogo si vede per​ $$+\infty$$.​
	​$$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \not\exists\\\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \not\exists$$​​	Questa funzione è periodica, come si vede nel grafico. In questo caso non esistono i limiti a $$\pm\infty$$ perché non è possibile stabilire un unico valore per il limite. Vale lo stesso per funzioni come $$f(x)=sin(x),cos(x)$$, anche se sai che i loro valori sono compresi in $$[-1;+1]$$, non ammettono limiti a $$\pm \infty$$.

Limite infinito

Sia $$f(x)$$ una funzione definita in un intervallo $$D$$ illimitato a destra (o a sinistra) e sia $$\varepsilon \in \mathbb{R}$$. Si dice che $$f(x)$$ tende a $$+ \infty$$ per $$x$$ che tende a $$+\infty (-\infty)$$, se $$\forall \varepsilon>0$$ esiste un intorno $$I$$ di $$+\infty(-\infty)$$ tale che $$\forall x \in D\cap I$$ vale: $$f(x)>\varepsilon$$. 

In formule: $$lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$$.​

Si dice che $$f(x)$$ tende a $$-\infty$$ per $$x$$ che tende a $$+\infty(-\infty)$$, se $$\forall\varepsilon>0$$ esiste un intorno $$I$$ di $$+\infty(-\infty)$$ tale che $$\forall x \in D \cap I$$ vale: $$f(x)<-\varepsilon$$. 

In formule: $$lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$$.​

Esempi

	$$\lim_{x \rightarrow -\infty} e^{-x} = + \infty$$	Per $$x \rightarrow -\infty$$ il grafico mostra che $$y$$ sale vertiginosamente verso l'alto. Calcolando, si ottiene: $$e^{-(-30)}\approx 1,07 \cdot 10^{13}; e^{-(-60)}\approx 1,14 \cdot 10^{26}$$ e così via.​
	​$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = + \infty\\\lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x} = \not \exists$$​​	La radice quadrata non esiste sui numeri negativi, quindi il limite non esiste per $$x$$ che tende a $$-\infty$$​. Per $$x \rightarrow +\infty$$ il grafico mostra la funzione che cresce senza mai fermarsi. Calcolando, infatti, si ottiene: $$\sqrt{1^{\cdot}000^{\cdot}000}= 1000; \sqrt{4 \cdot 10^{40}}=2\cdot10^{20}$$ e così via.​

Ricorda: se $$lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$$ la funzione si dice che diverge positivamente, se $$lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$$ la funzione si dice che diverge negativamente.