Limite di f(x) per x che tende a infinito

Limite finito

Sia $f(x)$ una funzione definita in un intervallo $D$ illimitato a destra (o a sinistra) e siano $l, \varepsilon \in \mathbb{R}$ . Si dice che $f(x)$ tende a $l$ per $x$ che tende a $+\infty$ $(-\infty)$ , se $\forall \varepsilon >0$ esiste un intorno $I$ di $+\infty$ $(-\infty)$ tale che $\forall x \in I\cap D$ vale: $|f(x)-l|<\varepsilon$ . In formule: $lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = l, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = l$ .

Nota bene:

In poche parole qualsiasi numero $\varepsilon$ reale positivo scegli, esiste $a$ per cui $\forall x$ che sta sia nel dominio che in $(a;+\infty)$ vale: $|f(x) - l| <\varepsilon$ . Nel caso $-\infty$ l'intorno diventa ovviamente $(-\infty;a)$ .
Nel caso di $x$ che tende a $+\infty$ o $-\infty$ , non ha senso considerare separatamente i limiti destri e sinistri perché il limite a $+\infty$ è già un limite sinistro, in quanto $x$ non può avvicinarsi a $+\infty$ da destra e per ragioni analoghe il limite a $-\infty$ è un limite destro.

Esempi

	$\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{-x} =0$	Per $x$ che tende a $+\infty$ il grafico mostra che $y$ tende a $0$ . Infatti, calcolando alcuni valori della funzione: $e^{-50}\approx 1,93 \cdot 10^{-22}; e^{-100}\approx 3,72 \cdot 10^{-44}$ e così via.
	$\lim_{x \rightarrow -\infty} arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2}\\\lim_{x \rightarrow +\infty} arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}$	Per $x$ che tende a $-\infty$ il grafico mostra che $y$ tende a $-\dfrac{\pi}{2}=-90^{\circ}$ . Eseguendo alcuni calcoli infatti: $arcatan(-200) \approx -89,71^{\circ}\\ arcatan(-5000) \approx -89,99^{\circ}$ e così via. In modo analogo si vede per $+\infty$ .
	$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \not\exists\\\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \not\exists$	Questa funzione è periodica, come si vede nel grafico. In questo caso non esistono i limiti a $\pm\infty$ perché non è possibile stabilire un unico valore per il limite. Vale lo stesso per funzioni come $f(x)=sin(x),cos(x)$ , anche se sai che i loro valori sono compresi in $[-1;+1]$ , non ammettono limiti a $\pm \infty$ .

Limite infinito

Sia $f(x)$ una funzione definita in un intervallo $D$ illimitato a destra (o a sinistra) e sia $\varepsilon \in \mathbb{R}$ . Si dice che $f(x)$ tende a $+ \infty$ per $x$ che tende a $+\infty (-\infty)$ , se $\forall \varepsilon>0$ esiste un intorno $I$ di $+\infty(-\infty)$ tale che $\forall x \in D\cap I$ vale: $f(x)>\varepsilon$ .

In formule: $lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$ .

Si dice che $f(x)$ tende a $-\infty$ per $x$ che tende a $+\infty(-\infty)$ , se $\forall\varepsilon>0$ esiste un intorno $I$ di $+\infty(-\infty)$ tale che $\forall x \in D \cap I$ vale: $f(x)<-\varepsilon$ .

In formule: $lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$ .

Esempi

	$\lim_{x \rightarrow -\infty} e^{-x} = + \infty$	Per $x \rightarrow -\infty$ il grafico mostra che $y$ sale vertiginosamente verso l'alto. Calcolando, si ottiene: $e^{-(-30)}\approx 1,07 \cdot 10^{13}; e^{-(-60)}\approx 1,14 \cdot 10^{26}$ e così via.
	$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = + \infty\\\lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x} = \not \exists$	La radice quadrata non esiste sui numeri negativi, quindi il limite non esiste per $x$ che tende a $-\infty$ . Per $x \rightarrow +\infty$ il grafico mostra la funzione che cresce senza mai fermarsi. Calcolando, infatti, si ottiene: $\sqrt{1^{\cdot}000^{\cdot}000}= 1000; \sqrt{4 \cdot 10^{40}}=2\cdot10^{20}$ e così via.

Ricorda: se $lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$ la funzione si dice che diverge positivamente, se $lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty, lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$ la funzione si dice che diverge negativamente.