Teoremi sui limiti

Teorema di unicità del limite

Se $$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$$, con $$l \not = \pm \infty$$, allora $$l$$ è unico.

Esempi

Sia $$f(x)=2x^3-5, x_0=1$$.

$$\lim_{x \rightarrow 1^+} 2x^3 -5= -3 \\\lim_{x \rightarrow 1^-} 2x^3 -5= -3$$, 

allora $$\lim_{x \rightarrow 1} 2x^3 -5= -3$$, poichè il limite, se esiste, deve essere lo stesso valore sia da sinistra che da destra.

Sia $$x_0=10, g(x) = \begin{cases} x+4 \hspace{1cm}x < 10 \\ \dfrac{1}{x} \hspace{1.5cm} x>10\end{cases}$$ 

$$\lim_{x \rightarrow 10^+} g(x)= \dfrac{1}{10}, \lim_{x \rightarrow 10^-} g(x)= 14$$, allora la funzione non ammette limite in $$x_0=10$$, poiché avrebbe due valori di limite diversi se fatto da sinistra o da destra.

Teorema di permanenza del segno

Se $$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$$, con $$l \not = 0, \pm \infty$$, allora $$\exists$$​ un intorno $$I$$ di $$x_0$$, escludendo al più $$x_0$$, in cui i valori della funzione hanno lo stesso segno di $$l$$.

Nota bene: in poche parole il teorema dice che, per $$l$$ positivo, esiste un intorno di $$x_0$$ per cui la funzione assume valori positivi nell'intorno. Analogo nel caso in cui $$l$$ è negativo.

Esempio

​$$\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=6$$ Le ipotesi del teorema sono verificate, quindi esiste un intorno di $$x_0=-2$$ in cui la funzione assume valori positivi. Se prendi  $$x_0=\frac{1}{2}$$ invece, hai $$\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} f(x) = -1$$. Come intorno puoi considerare $$(0;1)$$ e la funzione è negativa perché $$y \in (-1;0)$$.

Teorema del confronto

Siano $$f(x),g(x),h(x)$$ funzioni definite in un intorno $$I$$ di $$x_0$$, al più escluso $$x_0$$.

Se $$\forall x \in I-\{x_0\}$$ vale sia $$f(x) \le g(x) \le h(x)$$ che $$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} h(x)$$, allora

$$\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} h(x)$$.

Esempio

Sia $$g(x)= \dfrac{\cos(x)}{x}, x_0=+\infty$$. 

Sai che $$-1 \le \cos(x) \le 1$$, quindi scegli $$f(x)=- \dfrac{1}{x}, h(x) = \dfrac{1}{x}$$ perché così un'ipotesi del teorema sai che è già verificata, infatti: $$-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos(x)}{x} \le \dfrac{1}{x}$$. 

Ora calcola i limiti: $$lim_{x \rightarrow +\infty} - \dfrac{1}{x} = lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} =0$$. Anche la seconda ipotesi del teorema è verificata, allora $$lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\cos(x)}{x} =0$$.