L'integrale indefinito di una funzione f(x) definita in un intervallo reale I è l'insieme di tutte le funzioni primitive F(x) a meno di una costante c, numero reale qualsiasi. L'integrale di funzione f(x) si indica con ∫f(x)dx.
I termini
Si distinguono, presa la seguente relazione:
∫f(x)dx=F(x)+c
∫f(x)dx
Da leggere "integrale indefinito di f(x) in dx", la funzione interna si definisce funzione integranda, mentre la variabile xvariabile di integrazione. Se una funzione è continua in un intervallo reale I, allora ammette primitive nello stesso intervallo.
F(x)
Funzione primitiva di f(x): è una funzione definita nell'intervallo reale I⊆R derivabile in tutto I che, se derivata, restituisce la funzione integranda. In altre parole:
F′(x)=f(x)
Una funzione che ammette una primitiva si definisce integrabile.
c
Costante di integrazione: numero reale aggiunto che rappresenta tutte le soluzioni possibili che compongono la primitiva di una funzione. Derivando, in quanto costante, si elide per ogni primitiva specifica.
Esempio
Presa la funzione: f(x)=2x, integrarla vuol dire trovare l'insieme delle funzioni primitive che, se derivate, mi restituiscono la funzione di partenza. In questo caso si ottiene F(x)=x2+c, in quanto F′(x)=2x=f(x). La scrittura estesa e corretta in forma matematica prevede: F(x)=∫f(x)dx=∫2xdx=x2+c.
Nota bene: l'integrazione è sempre possibile! Mentre per la derivata esistono e sono classificati punti di non derivabilità, per l'integrale basta avere una funzione continua in un intervallo reale I perchè possa ammettere primitive nello stesso intervallo. A volte ci sarà da sudarsela, ma non è mai impossibile!
Proprietà
Prima proprietà di linearità
L'integrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni.
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
Seconda proprietà di linearità
L'integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è uguale al prodotto della costante per l'integrale della funzione.
∫k⋅f(x)dx=k⋅∫f(x)dx
Integrale di funzione composta
Per integrare una funzione composta è necessario che la funzione integranda sia costituita dal prodotto tra la funzione f(x) e la sua derivata f′(x). Prendendo il caso delle potenze:
∫[f(x)]αf′(x)dx=α+1[f(x)]α+1+c,conα=−1
Nota bene: non sono familiari queste proprietà? Ma certo, sono quelle delle derivate! Questo perché l'integrazione e la derivazione sono due facce della stessa medaglia, processi inversi che condividono le stesse caratteristiche.
Integrali indefiniti notevoli
Vengono elencate nella tabella sottostante le funzioni elementari di cui è nota l'integrazione.
∫xαdx=α+1xα+1+c,conα∈R,α=−1
∫cosxdx=sinx+c
∫x1dx=ln∣x∣+c
∫cos2x1dx=tanx+c
∫exdx=ex+c
∫sin2x1dx=cotx+c
∫axdx=lnaax+c
∫1−x21dx=arcsinx+c
∫sinxdx=−cosx+c
∫1+x21dx=arctanx+c
Suggerimento: è fondamentale imparare questi integrali, in quanto costituiscono i blocchi elementari per risolvere e gestire quelli più avanzati.
Nota bene: ora anche tu potrai capire le battute sull'esponenziale che non si integra alle feste. Mostra questa nuova divertentissima battuta ai tuoi amici, vedrai che risate!
Gli integrali godono delle stesse proprietà delle derivate, e vengono definite prima e seconda proprietà di linearità e integrale di funzione composta.
Quando una funzione è integrabile?
Una funzione è integrabile se continua in un intervallo reale I.
Cos'è una primitiva?
Per primitiva di una funzione f(x) si intende una funzione F(x) tale per cui la derivata di F(x) corrisponde a f(x).
Cos'è un integrale indefinito?
Per integrale indefinito di una funzione si intende l'insieme di tutte le primitive di f(x).
Beta
Sono Vulpy, il tuo compagno di studio AI! Studiamo insieme.
