Coordinate e vettori nello spazio

Coordinate

Scelto un sistema di riferimento di assi cartesiani nello spazio $$O_{xyz}$$​, cioè 

tre rette $$x$$, $$y$$ e $$z$$ perpendicolari tra loro che si incontrano in un punto $$O$$ chiamato origine, un qualsiasi punto $$P$$ è individuato da una terna ordinata di numeri che corrisponde alle coordinate di $$P$$. Ogni coordinata è la proiezione del punto sul rispettivo asse $$(x_p;y_p;z_p)$$:

• $$x_p$$ è l'ascissa del punto $$P$$, cioè il valore della sua proiezione sull'asse $$x$$;
• $$y_p$$ è l'ordinata del punto $$P$$, cioè il valore della sua proiezione sull'asse $$y$$;
• $$z_p$$ è la quota del punto $$P$$, cioè il valore della sua proiezione sull'asse $$z$$.

Usando i punti e le distanze tra di essi, si possono costruire i solidi nello spazio.

Distanza

La distanza fra due punti $$R (x_R;y_R;z_R)$$ e $$Q(x_Q;y_Q;z_Q)$$ è 

$$\overline {RQ}= \sqrt{(x_R-x_Q)^2+(y_R-y_Q)^2+(z_Q-z_R)^2}$$.

Punto medio

Il punto medio di un segmento $$\overline{RQ}$$ ha coordinate

 $$M=(x_M= \dfrac {x_R+x_Q}{2};y_M= \dfrac {y_R+y_Q}{2};z_M= \dfrac {z_R+z_Q}{2})$$​.

Esempio

Dato un sistema di riferimento $$O_{x,y,z}$$ si definiscono i punti $$A, B, C, D, E , F, G$$ come in figura. Qual è la quota di $$A, B$$ e $$C$$? Mi chiede la quota, quindi la proiezione sull'asse $$z$$ di $$A,B,C$$ che è $$0$$. Qual è la distanza tra $$G$$ e $$B$$?  $$\overline {GB}= \sqrt{(x_G-x_B)^2+(y_G-y_B)^2+(z_G-z_B)^2}$$.

Vettori

Ad ogni punto $$A$$​ nello spazio, fissato un sistema di riferimento $$O_{x,y,z}$$, si associa un vettore $$\overline {OA}=\overline a= a_x \overline e_1 + a_y \overline e_2 + a_z \overline e_3$$ cioè date le coordinate di un punto, il suo vettore si scrive come somma dei prodotti tra le coordinate e la direzione assegnata $$\overline e_i$$ all'asse a cui fa riferimento.

Si chiama modulo del vettore, la lunghezza della freccia che dall'origine $$O$$ va nel punto $$A$$ che si sta definendo e si calcola come: $$| \overline a |= a = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$.​

Operazioni 

Nota: mentre le operazioni di somma, differenza e prodotto per scalare danno origine a dei vettori, il prodotto scalare ha come risultato un numero reale.

Vettori paralleli e perpendicolari

Dati due vettori $$\overline a$$ e $$\overline b$$ non nulli, questi possono essere tra loro paralleli o perpendicolari a seconda che siano o meno rispettate le seguenti condizioni:​