Studio di una funzione

​​Studiare una funzione

Per studiare una funzione può essere utile seguire questo procedimento.

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Grafico di una funzione

Per tracciare il grafico può essere utile seguire questo procedimento. È consigliabile disegnare il grafico solo dopo aver completato tutti i punti dello studio della funzione.

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Esempio

Studia $$f(x)= x^3+2x^2-3x$$.

Dominio: $$\mathbb{R}$$.

Simmetrie:

 $$x^3+2x^2-3x \not = (-x)^3+2(-x)^2-3(-x) \\ x^3+2x^2-3x \not = -[(-x)^3+2(-x)^2-3(-x)]$$

La funzione non presenta simmetrie.

Intersezione con gli assi:

 $$\begin{cases} x=0 \\ y=0^3+2 \cdot 0^2-3 \cdot 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x=0\\y=0\end{cases} \\ \begin{cases} y=0\\0=x(x+3)(x-1) \end{cases} \rightarrow \begin{cases} y=0\\ x_1=0;x_2=-3;x_3=1\end{cases}$$

La funzione ha tre intersezioni con gli assi.

Segno: la funzione è positiva in $$(-3;0) \cup (1;+\infty)$$, negativa negli altri.

Limiti e asintoti: poiché il dominio è tutta la retta reale, studiare il comportamento agli estremi del dominio vuol dire studiare la funzione con $$x$$​ che tende all'infinito.

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} x^3+2x^2-3x = -\infty \hspace{2cm} \lim_{x \rightarrow + \infty} x^3+2x^2-3x= +\infty$$

Ricordando le regole per gli asintoti, si vede che la funzione non ha asintoti verticali e orizzontali. Resta da verificare il caso degli asintoti obliqui, ma non ha nemmeno questi, infatti:

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2-3x}{x}= +\infty \hspace{2cm} \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^3+2x^2-3x}{x}= +\infty$$

Derivata prima: $$f'(x)= 3x^2+4x-3$$.
La derivata prima è positiva in: $$\left ( -\infty; \dfrac{-2-\sqrt{13}}{3}\right) \cup \left ( \dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}; +\infty\right)$$, negativa altrove. Quindi $$x= \dfrac{-2-\sqrt{13}}{3}$$ punto di massimo e $$x=\dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}$$ punto di minimo.

Derivata seconda: $$f''(x)= 6x+4$$.
La derivata seconda è positiva in $$\left ( - \dfrac{2}{3}; +\infty\right)$$, negativa altrove. C'è un punto di flesso in $$x=-\dfrac{2}{3}$$.