Studio di una funzione

Studiare una funzione

Per studiare una funzione può essere utile seguire questo procedimento.

procedimento

1.	Dominio della funzione $f(x)$ .
2.	Simmetrie: $f(x)=f(-x) \forall x \in Dom_f$ la funzione è pari; $f(x)=-f(-x) \forall x \in Dom_f$ la funzione è dispari.
3.	Intersezione con gli assi: $\begin{cases} x=0\\ y=f(0)\end{cases} \hspace{2cm} \begin{cases} y=0 \\ 0=f(x)\end{cases}$ Il primo sistema si può calcolare solo nel caso in cui $0 \in Dom_f$ .
4.	Studiare il segno della funzione: $f(x)>0$ .
5.	Limiti e asintoti: calcolare i limiti della funzione agli estremi del dominio e controllare l'esistenza o meno di eventuali asintoti.
6.	Derivata prima: calcolarla, studiarne il segno, trovare gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente e trovare gli eventuali punti di minimo e massimo.
7.	Derivata seconda: calcolarla, studiarne il segno, trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l'alto, verso il basso e trovare gli eventuali punti di flesso.

Grafico di una funzione

Per tracciare il grafico può essere utile seguire questo procedimento. È consigliabile disegnare il grafico solo dopo aver completato tutti i punti dello studio della funzione.

procedimento

1.	Tracciare gli assi cartesiani.
2.	Facendo riferimento al dominio, eliminare gli intervalli e i punti esclusi dal dominio. Per eliminare un intervallo, si tracciano le rette verticali che lo delimitano e si cancella la regione di piano compresa fra le due rette. Per eliminare un punto, si traccia la retta verticale così da ricordarsi che la funzione non può attraversare quel punto.
3.	Segnare sul grafico cartesiano gli eventuali punti di intersezione con gli assi.
4.	Facendo riferimento allo studio del segno della funzione, traccia una retta verticale tratteggiata nei punti in cui la funzione cambia il segno, se è già presente la retta verticale del dominio invece non aggiungere nulla. Per ogni intervallo del grafico dei segni cancella la porzione di piano sopra l'asse delle ascisse quando la funzione è negativa e cancella la porzione di piano sotto l'asse delle ascisse quando la funzione è positiva.
5.	Disegnare il comportamento della funzione agli estremi del dominio.
6.	Segnare sul grafico tutti gli eventuali punti di minimo e massimo.
7.	Segnare sul grafico tutti gli eventuali punti di flesso.
8.	Unire tutti i punti per una prima approssimazione del grafico.
9.	Migliorare il grafico tenendo presente dove la funzione ha concavità verso l'alto e dove verso il basso, controllare che nel grafico gli intervalli in cui la funzione cresce e decresce corrispondono agli intervalli in cui la derivata prima è positiva e negativa.

Esempio

Studia $f(x)= x^3+2x^2-3x$ .

Dominio: $\mathbb{R}$ .

Simmetrie:

$x^3+2x^2-3x \not = (-x)^3+2(-x)^2-3(-x) \\ x^3+2x^2-3x \not = -[(-x)^3+2(-x)^2-3(-x)]$

La funzione non presenta simmetrie.

Intersezione con gli assi:

$\begin{cases} x=0 \\ y=0^3+2 \cdot 0^2-3 \cdot 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x=0\\y=0\end{cases} \\ \begin{cases} y=0\\0=x(x+3)(x-1) \end{cases} \rightarrow \begin{cases} y=0\\ x_1=0;x_2=-3;x_3=1\end{cases}$

La funzione ha tre intersezioni con gli assi.

Segno: la funzione è positiva in $(-3;0) \cup (1;+\infty)$ , negativa negli altri.

Limiti e asintoti: poiché il dominio è tutta la retta reale, studiare il comportamento agli estremi del dominio vuol dire studiare la funzione con $x$ che tende all'infinito.

$\lim_{x \rightarrow -\infty} x^3+2x^2-3x = -\infty \hspace{2cm} \lim_{x \rightarrow + \infty} x^3+2x^2-3x= +\infty$

Ricordando le regole per gli asintoti, si vede che la funzione non ha asintoti verticali e orizzontali. Resta da verificare il caso degli asintoti obliqui, ma non ha nemmeno questi, infatti:

$\lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2-3x}{x}= +\infty \hspace{2cm} \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^3+2x^2-3x}{x}= +\infty$

Derivata prima: $f'(x)= 3x^2+4x-3$ .
La derivata prima è positiva in: $\left ( -\infty; \dfrac{-2-\sqrt{13}}{3}\right) \cup \left ( \dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}; +\infty\right)$ , negativa altrove. Quindi $x= \dfrac{-2-\sqrt{13}}{3}$ punto di massimo e $x=\dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}$ punto di minimo.

Derivata seconda: $f''(x)= 6x+4$ .
La derivata seconda è positiva in $\left ( - \dfrac{2}{3}; +\infty\right)$ , negativa altrove. C'è un punto di flesso in $x=-\dfrac{2}{3}$ .

Matematica; Studio di funzione; 5a superiore; Studio di una funzione