Rette parallele, perpendicolari e fasci di rette

​​Rette parallele

Due rette $y=mx+q$ e $y=m_1x+q_1$ sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, cioè se $m=m_1$.

Esempio

Le rette $y=3x+7$ e $y=3x-2$ sono parallele in quanto hanno lo stesso coefficiente angolare.

Rette perpendicolari

Due rette $y=mx+q$ e $y=m_1x+q_1$ sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è pari a $-1$, cioè se $m\cdot m_1=-1$. 

La relazione tra i coefficienti angolari deve essere: $m=-\dfrac{1}{m_1}$.

Esempio

Le rette $y=2x+3$ e $y=-\dfrac{1}{2}+7$ sono perpendicolari in quanto hanno il prodotto tra i coefficienti angolari pari a $-1$.

Fasci di rette

​​Fascio improprio

Un fascio improprio di rette è un'insieme di rette tutte parallele tra loro.

Data una retta di coefficiente angolare $m$, il fascio improprio di rette ha equazione $y=mx+q$.

Esempio

L'equazione $y=3x+q$ rappresenta l'insieme di tutte le rette, parallele tra loro, aventi coefficiente angolare pari a $3$.

Fascio proprio

Un fascio proprio è l'insieme di tutte le rette passanti per uno stesso punto $P$ chiamato centro del fascio. Considerato un punto $P$($x_1;y_1$), il fascio di rette di centro $P$​ ha equazione $y-y_1=m(x-x_1)$.

Nota bene:  data l'equazione $y-y_1=m(x-x_1)$, al variare di $m$ si ottengono tutte le rette passanti per $(x_1,y_1)$​, tranne quella parallela all'asse $y$, di equazione $x=x_1$.

​​Ricorda: per ricavare l'equazione della retta generica passante per un noto punto $P$($x_1;y_1$) occorre sostituire tali valori all'equazione generica $y-y_1=m(x-x_1)$.

Esempio

Il fascio proprio di rette passanti per $P$$(2;1)$ ha equazione $y-1=m(x-2)$, cioè
 $y=mx-2m+1$​.