Integrale definito e teorema fondamentale

Introduzione

Considera una funzione $$f(x)$$ continua in un intervallo $$[a;b]$$ e immagina di suddividere tale l'intervallo in $$n$$ intervalli chiusi, più piccoli, di dimensione $$\Delta x _1,\Delta x _2,...,\Delta x _n$$. L'area $$S$$​ al di sotto della funzione, può essere approssimata sommando le aree dei rettangoli $$F_1,\ F_2,..., F_n$$ aventi:

• base pari a $$\Delta x_i$$;
• altezza pari a $$f(c_i)$$, dove $$c_i$$ è un punto dell'intervallo $$\Delta x_i$$​.

Si può dimostrare come, se $$\Delta x \to 0$$, il valore limite $$\bar {S}$$​ della somma rimane costante, indipendentemente dagli intervalli scelti o dai valori di funzione presi.

Il valore dell'integrale definito è pari al valore limite $$\={S}$$, e si può scrivere come $$\int_a^bf(x)dx$$, dove:

• ​$$a, \ b$$ sono gli estremi di integrazione. In particolare, $$a$$ si dice estremo inferiore e $$b$$ estremo superiore;
• ​$$f(x)$$ viene chiamata funzione integranda;
• ​$$dx$$ indica gli intervalli infinitamente piccoli in cui si suddivide l'intervallo di integrazione.​
  

Nota bene: l'integrale definito è strettamente legato alla necessità di calcolare le aree di figure con bordi curvilinei.

Relazione tra integrale definito e area della curva

Data una funzione $$f(x)$$ continua in $$[a;b]$$, se per $$x\in \ [a;b]$$​:

• ​$$f(x)>0$$ allora $$\int_a^b f(x)dx>0$$ e l'area del trapezoide sotteso alla curva coincide con il valore dell'integrale definito;
• ​$$f(x)<0$$ allora $$\int_a^b f(x)dx<0$$ e l'area del trapezoide sotteso alla curva coincide con l'opposto del valore dell'integrale definito;
  
• ​$$f(x) \lessgtr 0$$ allora $$\int_a^b f(x)dx \lesseqgtr0$$ e il valore dell'integrale può essere maggiore minore o nullo, a seconda di come i trapezoidi che compongono l'intervallo si sommano tra loro.
  

Proprietà dell'integrale definito

Oltre alle proprietà dell'integrale indefinito, date due funzioni $$f(x), \ g(x)$$ integrabili su un intervallo chiuso e limitato $$[a;b]$$​ , si definiscono le seguenti proprietà:

Teorema della media

Data una funzione $$f(x)$$ continua in un intervallo $$[a;b]$$, esiste almeno un punto $$c$$ che rende vera la relazione $$\int_a^bf(x)dx=(b-a) \cdot f(c)$$, dove $$f(c)$$ è il valore medio della funzione nell'intervallo $$[a;b]$$.

​Nota bene:  il teorema della media afferma semplicemente che esiste un punto $$c$$ nell'intervallo tale per cui sono uguali l'area del trapezoide a sinistra e del rettangolo con base l'intervallo e altezza $$f(c)$$.​

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Definizione

Si definisce funzione integrale la funzione $$F(x)= \int_a^xf(t)dt$$ con $$x \in [a;b]$$ e $$f(t)$$ funzione limitata e integrabile in $$[a;b]$$. Tale funzione è continua nello stesso intervallo dell'integranda e rappresenta l'area del trapezoide sotteso a $$f(t),$$ se $$f(t)>0$$.

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Data una funzione $$f(x)$$ limitata, integrabile e continua per $$x \in [a;b]$$, la funzione integrale $$F(x)$$ è derivabile e valgono le relazioni $$F(x)= \int_a^xf(t)dt$$ e $$F'(x)=f(x)$$​.

Risulta inoltre valida l'equazione per il calcolo di un integrale definito:
  $$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$.

Esempio

​$$\int_0^3{x^2+1}dx=\left[ \dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^3=\dfrac{3^3}{3}+3-0=12$$