Calcolo delle aree

Area compresa tra funzione e asse orizzontale​

Data una funzione $$f(x)$$, continua nell'intervallo $$[a;b]$$, si distinguono i seguenti casi:​

• se $$f(x)>0 \ \ \forall x \in [a;b]$$ allora $$\int_b^af(x)dx>0$$ e rappresenta l'area sottesa alla funzione;
  
• se $$f(x)<0 \ \ \forall x \in [a;b]$$ allora $$\int_b^af(x)dx<0$$ e rappresenta l'opposto dell'area sottesa;
• se $$f(x) \lessgtr 0 \ \ \forall x \in [a;b]$$ allora l'integrale può assumere diversi valori, e può essere visto come la somma di più aree relative a sotto-intervalli in cui la funzione, e quindi il proprio integrale, assumono segno costante.

Esempio

Data la funzione trigonometrica nell'intervallo $$\left[0; \dfrac{\pi}{2} \right]$$.​

A seconda dell'intervallo di integrazione si possono distinguere i tre casi sopracitati:

• per $$x\in \left [0, \dfrac{ \pi}{2}\right]$$allora $$\int_0^ \frac{ \pi}{2}cos(x)dx>0$$​ perché la funzione è positiva in quell'intervallo. Inoltre, l'area ottenuta risolvendo l'integrale è pari a $$1$$ e coincide con l'area delimitata dalla curva;​
• per $$x \in\left [ \dfrac{ \pi}{2}; \pi \right]$$ allora $$\int_ \frac{ \pi}{2}^\pi cos(x)dx<0$$ perché la funzione è negativa in quell'intervallo. Il risultato ottenuto è pari a $$-1$$​ e coincide con l'opposto dell'area delimitata dalla curva;
• per $$x\in[1;3]$$​ allora $$\int_ 1^3 cos(x)dx\lessgtr 0$$​ e può essere scomposto in due integrali in cui la funzione ha segno costante, ovvero $$\int_1^{ \frac{\pi}{2}} cos(x)dx+\int_{ \frac{\pi}{2}}^3cos(x)dx$$, con il primo integrale positivo e il secondo negativo. Svolgendo i conti si ottiene $$0,0158-0,8589=-0,8431$$. Si può vedere il problema come una somma tra due aree, di cui una positiva e una negativa.​
  

Funzioni pari e dispari

Se la funzione è pari o dispari e viene integrata su intervallo simmetrico, cioè del tipo $$[-a;a]$$​, si distinguono due casi:

• se la funzione è pari, vale che $$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$;
• se la funzione è dispari, vale che $$\int_{-a}^af(x)dx=0$$.

Esempi

​$$\int_{ -\frac{ \pi}{2}}^{ \frac{ \pi}{2}}cos(x)dx$$ è un integrale con estremi di integrazione centrati in $$0$$ di una funzione pari, pertanto posso calcolarne la metà e raddoppiare con una costante: $$2\int_0^{ \frac{ \pi}{2}}cos(x)dx=2(sen(\frac{\pi}{2})-sen(0))=2(1-0)=2$$.

​$$\int_{ -\frac{ \pi}{2}}^{ \frac{ \pi}{2}}sin(x)dx$$  è un integrale con estremi di integrazione centrati in $$0$$ di una funzione dispari, pertanto le due aree saranno opposte e si annulleranno a vicenda, dando un valore nullo come risultato.

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Area compresa fra due funzioni

Date due funzioni $$f(x), \ g(x)$$ continue e tali per cui $$f(x) \geq g(x) \ \forall x \in [a;b]$$, l'area compresa tra le due funzioni può essere calcolata semplicemente facendo la differenza $$\int_a^bf(x)dx- \int_a^bg(x)dx$$. In altre parole si effettua la differenza tra le aree sottese alle due curve.

Area compresa tra funzioni aventi punti di intersezione

Nel caso di funzioni che si intersecano, è necessario individuare dei sotto intervalli in cui $$f(x) \geq g(x) \ \forall x \in [a;b]$$ e ripetere il caso originale.

L'area sarà la somma delle due sotto-aree, ovvero: $$A=A_1+A_2$$​​