Punti di non derivabilità

Cuspidi

Sia $f(x)$ una funzione, $f'(x)$ la sua derivata e $x_0$ un punto interno al dominio della funzione. Se la derivata sinistra e la derivata destra in $x_0$ sono entrambe infinite e di segno opposto, allora la funzione non è derivabile in $x_0$ e $x_0$ si chiama cuspide.

Esempio

$f(x)= - \sqrt[3]{x^2}, x_0=0, f'(x)= - \dfrac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \\\lim_{x \rightarrow 0^-} - \dfrac{2}{3 \sqrt[3]{x}}= + \infty \hspace{2cm}\lim_{x \rightarrow 0^+} - \dfrac{2}{3 \sqrt[3]{x}}= - \infty$

Il punto $x_0=0$ è quindi un punto di cuspide per la funzione, in quanto derivata prima destra e sinistra sono infinite di segno opposto.

Flessi a tangente verticale

Sia $f(x)$ una funzione, $f'(x)$ la sua derivata e $x_0$ un punto interno al dominio della funzione. Se la derivata sinistra e destra in $x_0$ sono entrambe infinite e di segno concorde, allora la funzione non è derivabile nel punto e $x_0$ si chiama flesso a tangente verticale.

Esempio

$f(x)= \sqrt[3]{x}, x_0=0, f'(x)= \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\\\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}= + \infty \hspace{2cm} \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}= + \infty$

Il punto $x_0=0$ è quindi un flesso a tangente verticale per la funzione, in quanto derivata prima destra e sinistra sono infinite di segno concorde.

Punti angolosi

Sia $f(x)$ una funzione, $f'(x)$ la sua derivata e $x_0$ un punto interno al dominio della funzione. Se la derivata destra e sinistra sono entrambe finite ma di valore diverso, oppure una è finita e l'altra è infinita, allora la funzione non è derivabile in quel punto e $x_0$ si chiama punto angoloso.

Esempio

$f(x)= |x-4|, x_0=4 \\f'(x)= \begin{cases} 1 \ \ \ \ \ \ \ \ x \ge 4 \\ -1 \ \ \ \ \ x <4\end{cases} \\\lim_{x \rightarrow 4^-} -1=-1 \hspace{2cm} \lim_{x \rightarrow 4^+} 1= 1$

Il punto $x_0=4$ è un punto angoloso per la funzione, in quanto derivata prima destra e sinistra sono finite di valore diverso.