Combinazioni

Coefficienti binomiali 

Il coefficiente binomiale è uno strumento utile che deriva dal binomio di Newton, il quale fornisce un metodo più veloce di quello del triangolo di Tartaglia per sviluppare le potenze dei binomi.

In formule:

 $$(A+B)^n= \dbinom{n}{0} \cdot A^n \cdot B^0+\dbinom{n}{1} \cdot A^{n-1} \cdot B^1+...+\dbinom{n}{n-1} \cdot A^1 \cdot B^{n-1}+\dbinom{n}{n} \cdot A^0 \cdot B^n$$.

I numeri che compaiono incolonnati tra parentesi sono coefficienti binomiali, cioè dei modi compatti per scrivere un rapporto preciso tra fattoriali.

Per calcolare il coefficiente binomiale si procede applicando la seguente formula:

$$\dbinom{n}{k}= \dfrac {n!}{k! \cdot(n-k)!}$$ con $$k,n \isin \natnums$$ e $$0 \leq k \leq n$$.

Combinazioni semplici di $$n$$ elementi distinti di classe $$k$$

Sono combinazioni semplici tutti i gruppi che si possono formare con $$k$$ elementi presi dagli $$n$$ tali che:

• ogni gruppo è diverso dagli altri per almeno un elemento contenuto;
  
• non conta l'ordine.

In formule: $$C_{n,k}= \dfrac {D_{n,k}}{P_k}=\dbinom{n}{k}=\dfrac {n!}{k! \cdot (n-k)!}$$.

Esempio

In una sacca ci sono $$5$$ gettoni numerati, Marco e Alice devono sceglierne $$1$$​ a testa, ma per vincere devono essere chiamati entrambi i numeri. In quanti modi possono scegliere i gettoni?

Poiché non ha alcuna importanza se un gettone lo sceglie Marco o Alice, ma cioè quello che interessa è qual è la coppia di gettoni scelta, è interessante il solo numero delle coppie che si possono formare con $$5$$ elementi.

Le possibili coppie sono: $$\lbrace (1,2); (1,3);(1,4);(1,5);(2,3);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5);(4,5) \rbrace$$ cioè $$10$$.

Se avessi usato la formula delle combinazioni: 

$$C_{5,2}= \dfrac {D_{5,2}}{P_2}=\dbinom{5}{2}=\dfrac {5!}{2! \cdot (5-2)!}=\dfrac {120}{2 \cdot 6}=10$$.​

Combinazioni con ripetizione di $$n$$ elementi distinti di classe $$k$$

Sono combinazioni con ripetizione tutti i gruppi che si possono formare con $$k$$ elementi presi dagli $$n$$ tali che:

• ogni elemento può essere ripetuto fino a $$k$$ volte;
• non conta l'ordine;
• in ciascun gruppo è diverso il numero di volte che compare un elemento.

In formule: $$C'_{n,k}= C_{n+k-1,k}=\dbinom{n+k-1}{k}=\dfrac {(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$$.

Esempio

Francesco lancia $$3$$ volte una moneta e conta quante teste e quante croci vengono fuori (non è importante la sequenza ordinata), quante sono le combinazioni possibili?

I lanci distinti sono $$k=3$$, ognuno può registrare $$T$$ o $$C$$ cioè $$n=2$$, perciò 

$$C'_{2,3}= C_{4,3}=\dbinom{4}{3}=\dfrac {4!}{3! \cdot 1!}=4$$ 

cioè $$(3 \ Teste),(1 \ Testa +2 \ Croci),(2 \ Teste +1 \ Croce),(3 \ Croci)$$​.​