Derivate fondamentali

La tabella riporta le formule per calcolare la derivata delle funzioni fondamentali più comuni.

Esempi

Come si usa la tabella? Identifica il tipo di funzione e usa la formula corrispondente per calcolare le derivate.

​$$f(x)= \dfrac{1}{x^3} \to f'(x)= -\dfrac{3}{x^4}\\g(x)= \log_2 x \to g'(x)= \dfrac{1}{x \ln(2)}\\h(x)= x^6 \to h'(x)= 6x^5$$

Nota bene: se applichi la definizione di derivata, puoi dimostrare molte delle formule riportate nella tabella. Spesso è più rapido imparare la tabella, che dover ridimostrare, per ogni esercizio, qual è la formula da usare per calcolare la derivata.

Dimostrazioni

A titolo di esempio sono riportate un paio di dimostrazioni delle formule sopra esposte.

​$$f(x)= e^x$$

​​$$f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^x(e^h-1)}{h}= e^x \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^h-1}{h}= e^x$$

Nota bene: nell'ultimo passaggio è stato usato un limite notevole.

$$f(x)= x^2\\f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{x^2+h^2+2xh-x^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{h^2 + 2xh}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} (h+2x)= 2x$$​​