Derivate di funzioni composte e inverse

Derivata di una funzione composta

Sia $$y=f(g(x))$$ una funzione composta, la sua derivata è $$y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$.

Esempi

​$$y=\sin(\sqrt x) \ \ \Rightarrow \ \ y'= \cos(\sqrt x) \cdot \dfrac{1}{2 \sqrt x}\\y= e^{2x} \ \ \Rightarrow \ \ y'= e^{2x} \cdot 2\\y= \ln^3 (x) \ \ \Rightarrow \ \ y'= 3\ln^2(x) \cdot \dfrac{1}{x}\\y= \ln \left( \dfrac{x-6}{x+6}\right) \ \ \Rightarrow \ \ y'= \left( \dfrac{x-6}{x+6}\right)^{-1} \cdot \dfrac{12}{(x+6)^2} = \dfrac{12}{x^2 - 36}$$​​

Derivata di una funzione inversa

Sia $$y=f(x)$$ una funzione invertibile e sia $$x=f^{-1}(y)$$ la sua inversa. Allora la derivata della funzione inversa è $$\dfrac{1}{f'(x)}$$.

Esempio

Considera questa funzione e la sua inversa: $$y= \arcsin x, x= \sin y$$.

Allora $$D(\arcsin x)= \dfrac{1}{D(\sin y)}= \dfrac{1}{\cos (y)}= \dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$.