Disposizioni

Definizione

Nel calcolo combinatorio, dato un numero di elementi $$n$$ e un numero di posti $$k$$ in cui disporli, si definiscono disposizioni di $$n$$ elementi in $$k$$ posti tutti i possibili sottoinsiemi ordinati di $$k$$ elementi estratti dagli $$n$$ tali che nessun sottoinsieme di lunghezza $$k$$ sia uguale a un altro. 

Quindi dati $$n$$ oggetti e $$k$$ posti, si dicono disposizioni di classe $$k$$ i  raggruppamenti che si possono formare partendo da $$n$$ elementi, a condizione che:

• in ogni raggruppamento vi siano esattamente $$k$$ elementi;
• ciascun raggruppamento differisce da un altro per l'ordine dei suoi elementi o per almeno un elemento.

A seconda che siano o meno ammesse delle ripetizioni (uno o più degli $$n$$ elementi appaiono più di una volta nei $$k$$ posti), si distinguono le diposizioni in:​

• Disposizioni semplici: nei sottoinsiemi non sono permessi elementi ripetuti, quindi dev'essere $$k \le n$$.
• Disposizioni con ripetizione: nei sottoinsiemi sono permessi elementi ripetuti.
  

​​

Esempio

Alberto, Barbara e Carlos fanno una gara di corsa ma ci sono solo due premi. Quali sono le disposizioni possibili dei $$2$$ premi sui $$3$$ giocatori?

Il numero di posti $$k$$ è $$2$$, il numero di elementi $$n$$ è $$3$$; chiamando Alberto con $$A$$​, Barbara con $$B$$​ e Carlos con $$C$$​, vediamo tutte le possibili disposizioni.

Disposizioni semplici: $$AB,AC,BA,BC,CA,CB$$​.

E se le corse fossero due e vincesse solo il primo che arriva, quali sarebbero le possibili disposizioni?

Disposizioni con ripetizione: $$AB,AC,BA,CA,CB,AA,BB,CC$$​.

Disposizioni semplici

Tutte le possibili sequenze ordinate di $$k$$ elementi estratti da $$n$$ oggetti distinti che non presentano ripetizione, nonché disposizioni senza ripetizione "$$D_{n,k}$$". 

Posso scegliere tra $$n$$ oggetti da disporre in $$k$$ caselle, vuol dire che per il primo posto disponibile posso scegliere tra $$n$$ oggetti, per il secondo posto tra $$n-1$$ oggetti e così via fino all'ultimo posto che avrà a disposizione $$n-k+1$$ oggetti tra cui scegliere, per questo si possono contare il numero di disposizioni possibili conoscendo $$n$$ e $$k$$: $$D_{n,k}= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)$$, prodotto di $$k$$ fattori.

Esempio

Alberto, Barbara e Carlos fanno una gara di corsa ma ci sono solo due premi. Quante sono le disposizioni possibili dei $$2$$ premi sui $$3$$ giocatori?

$$k=2, n=3$$ allora $$D_{3,2}= 3 \cdot 2 = 6$$.

Disposizioni con ripetizione

Tutte le possibili sequenze ordinate di $$k$$ elementi estratti da $$n$$ oggetti distinti con la possibilità che ogni elemento possa ripetersi fino a $$k$$ volte nella stessa sequenza.

Posso scegliere tra $$n$$ oggetti per tutte le $$k$$ caselle, vale a dire: $$D_{n,k}= n \cdot n \cdot ... \cdot n$$, prodotto di $$k$$ fattori $$n$$, da cui $$D'_{n,k}= n^k$$.

Esempio

​Alberto, Barbara e Carlos fanno due gare di corsa, ad ogni turno il primo (e solo il primo) vince un premio. Quante sono le disposizioni possibili dei $$2$$ premi sui $$3$$ giocatori?

$$k=2, n=3$$ allora $$D'_{3,2}= 3^2=9$$.​