Per risolvere un integrale è possibile sostituire una variabile con un'altra (cambio di variabile), al fine di ottenere un integrale più semplice da risolvere.
In formule: ∫f(x)dx=∫f[h(t)]⋅h′(t)dt con x=h(t) e dx=h′(t)dt.
PROCEDIMENTO
1.
Data f(x), individua una funzione h(t) che sostituisca x, cioè tale che x=h(t)
2.
Calcola il differenziale dx in funzione della nuova variabile come dx=h′(t)dt
3.
Sostituisci nell'integrale il nuovo differenziale h′(t)dt e la nuova variabile h(t)
4.
Risolvi l'integrale
5.
Sostituisci x al posto di h(t)
Suggerimento: non c'è una procedura fissa per la sostituzione. Il trucco sta nel trovare la funzione giusta da usare, pensando sempre a come ottenere un integrale di cui si conosce facilmente la soluzione. Allena l'occhio facendo molti esercizi!
Esempio
Calcolo l'integrale∫xx+1dx.
1.
Pongox=t
2.
x=t→x=t2→dx=2tdt
3.
∫xx+1=∫tt+1⋅2tdt=∫2(t+1)dt
4.
∫2t+2dt=t2+2t+c
5.
t2+2t+c=(x)2+2x+c=x+2x+c
Integrazione per parti
L'integrazione per parti si può effettuare quando è presente il prodotto tra due funzioni, con la condizione che siano entrambi derivabili e con derivata continua in un intervallo [a,b].
Ricavare la formula risolutiva
Considero il prodotto di due funzioni f(x) e g(x).
Ecco ottenuta la formula da adottare per l'integrazione per parti.
Applicare la formula risolutiva
PROCEDIMENTO
1.
Identifico quale, tra le due funzioni, definire f(x) e quale g′(x), in modo da avere derivate e integrali elementari da calcolare
2.
Calcolo la derivata di f(x) e l'integrale dig′(x)
3.
Sostituisco i termini nella formula risolutiva
4.
Risolvo l'integrale ∫f′(x)⋅g(x)dx
Nota bene: l'attenzione deve concentrarsi su scomporre la funzione integranda in due funzioni più piccole moltiplicate tra loro e facilmente derivabili o integrabili, altrimenti il metodo non porta alcun vantaggio!
L'integrazione per parti si usa quando è possibile scomporre l'integranda in due funzioni più semplici moltiplicate fra loro.
Quando usare l'integrazione per sostituzione?
L'integrazione per sostituzione si usa quando, sostituendo ad x un'altra funzione, ottengo un'integrale notevole o comunque più semplice da risolvere.
Come si calcola l'integrale per parti?
L'integrale per parti si calcola dividendo la funzione integranda in due funzioni f(x) e g'(x), calcolando rispettivamente f'(x) e g(x) e adottando la formula risolutiva dell'integrazione per parti.
Come si calcola l'integrale per sostituzione?
L'integrale per sostituzione si calcola effettuando un cambio di variabile al fine di ottenere un integrale più semplice da risolvere, dove x diventa una funzione dipendente da un'altra variabile in forma h(t).
Beta
Sono Vulpy, il tuo compagno di studio AI! Studiamo insieme.
