Massimi, minimi e flessi

Massimi e minimi assoluti

Sia $$f(x)$$ una funzione qualsiasi. 

Il punto $$x_0 \in Dom_f$$ si chiama punto di massimo assoluto se $$f(x)\le f(x_0) \ \ \forall x \in Dom_f$$. Il valore $$M=f(x_0)$$ si chiama massimo assoluto della funzione.

Il punto $$x_0 \in Dom_f$$ si chiama punto di minimo assoluto se $$f(x) \ge f(x_0) \ \ \forall x \in Dom_f$$. Il valore $$m=f(x_0)$$ si chiama minimo assoluto della funzione.

Esempio

Per la funzione $$0$$ è il punto di massimo assoluto e $$1$$ è il massimo assoluto.

Massimi e minimi relativi

Sia $$f(x)$$ una funzione. Il punto $$x_0 \in Dom_f$$ si chiama punto di massimo relativo se esiste un intorno $$I_{x_0}$$ tale che $$f(x) \le f(x_0) \ \ \forall x \in I_{x_0}$$. Il punto $$x_0\in Dom_f$$ si chiama punto di minimo relativo se esiste un intorno $$I_{x_0}$$ tale che $$f(x)\ge f(x_0) \ \ \forall x \in I_{x_0}$$.

Esempio

La funzione presenta un punto di massimo relativo in $$-3$$ e un  punto di  minimo  relativo in $$-1$$.

Ricerca dei massimi e dei minimi

procedimento

Esempio

Sia $$f(x)= x - \ln x$$. $$Dom_f: x>0;f'(x)= \dfrac{x-1}{x}.$$

Studiando il segno della derivata e intersecandolo con il dominio ottieni che: in $$(0;1)$$ la derivata ha segno negativo, in $$(1;+\infty)$$ ha segno positivo. Quindi $$1$$ è punto di minimo per la funzione e il minimo è $$f(1)=1-\ln(1)=1$$.

Concavità

Sia $$f(x)$$ una funzione. Si dice che in $$x_0 \in Dom_f$$ la funzione ha concavità verso l'alto se esiste un intorno $$I_{x_0}$$ tale che $$f(x) >f(x_0) \ \ \forall x \in I_{x_0},x \not =x_0$$.

Si dice che in $$x_0 \in Dom_f$$ la funzione ha concavità verso il basso se esiste un intorno $$I_{x_0}$$ tale che $$f(x)<f(x_0) \ \ \forall x \in I_{x_0},x \not =x_0$$.

Esempio

In $$x=90^{\circ}$$ la funzione presenta una concavità verso il basso. In $$x=270^{\circ}$$ la funzione presenta una concavità verso l'alto.

Flessi

Sia $$f(x)$$ una funzione. Il punto $$x_0 \in Dom_f$$ si chiama punto di flesso se in quel punto la funzione cambia concavità.

Ricerca dei flessi

Procedimento

Esempio

​$$y=e^x-x^2; y''=e^x-2$$.

Studiando il segno della derivata seconda ottieni che in $$(-\infty;\ln2)$$ la funzione ha concavità verso il basso, in $$(\ln 2; +\infty)$$ la funzione ha concavità verso l'alto. La funzione ha un flesso in $$x=\ln 2$$.