Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

Funzioni crescenti e decrescenti

Sia $$f(x)$$ continua in $$[a;b]$$.

La funzione è crescente nell'intervallo se ​$$\forall x_1,x_2 \in [a;b], x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$$.

La funzione è decrescente nell'intervallo se $$\forall x_1,x_2 \in [a;b], x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$$.

Nota bene: una funzione è crescente in un intervallo se, scelto un punto all'interno dell'intervallo, il valore corrispondente della funzione in quel punto è minore o uguale a tutti i valori a destra e maggiore o uguale a tutti i valori della funzione a sinistra del punto nell'intervallo.

Esempio

Considera la funzione dell'immagine. Nell'intervallo $$[-3;-2]$$ la funzione è crescente, poiché ogni valore che la funzione assume a destra di $$-3$$ è maggiore del valore che lo precede. Nell'intervallo $$[-2;0,5]$$ la funzione è decrescente, mentre nell'intervallo $$[0,5;2]$$ torna a essere crescente.

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Intervallo di Monotonia

Una funzione si dice monotona in un intervallo $$I$$​ se, all'interno di $$I$$, la funzione è sempre decrescente o crescente.

Esempio

La funzione $$y=x$$ è una retta sempre crescente in tutto il suo dominio. Si dice quindi che la funzione è monotona crescente in $$\R$$.

Teorema

Sia $$f(x)$$ continua in $$[a;b]$$ e derivabile in $$(a;b)$$. Allora:

• $$f'(x)\ge0 \ \ \forall x \in (a;b)$$ se e solo se $$f(x)$$ è crescente in $$[a;b]$$;
• $$f'(x)\le 0 \ \ \forall x \in (a;b)$$ se e solo se $$f(x)$$ è decrescente in $$[a;b]$$.

Nota bene: il segno della derivata nell'intervallo dice se la funzione cresce o decresce in quell'intervallo. Se è positivo la funzione sarà crescente, decrescente se negativo.

Esempio

Una prima applicazione utile del teorema è che data una funzione per conoscere i suoi intervalli di crescenza e decrescenza ti basta studiare il segno della derivata.

Sia $$f(x)= \ln(x^2+5x+6), f'(x)= \dfrac{2x+5}{x^2+5x+6}$$, con dominio $$Dom_f: (-\infty;-3) \cup (-2;+\infty)$$.

Studiando il segno della derivata e intersecandolo con il dominio si ottiene che la derivata è negativa per $$(-\infty;-3)$$, quindi in quello stesso intervallo la funzione è decrescente, mentre in $$(-2;+\infty)$$ la derivata ha segno positivo e quindi la funzione è crescente.