Equazione della retta

L'equazione generale della retta

​​Forma esplicita

Ogni retta del piano, non parallela all'asse $$y$$​, è rappresentata dall'equazione $$y=mx+q$$.

Si parla di forma esplicita in quanto viene esplicitata la $$y$$​ in funzione di $$x$$​.

Il coefficiente $$m$$ è definito coefficiente angolare e indica la pendenza della retta rispetto all'asse $$x$$​.

Il coefficiente $$q$$ è definito termine noto o ordinata all'origine in quanto rappresenta il valore dell'ordinata nel punto di intersezione con l'asse $$y$$​.

Forma implicita

Ogni retta del piano è rappresentata dall'equazione $$ax+by+c=0$$ in cui $$a,b$$ e $$c$$ sono numeri reali ($$a$$ e $$b$$ non entrambi nulli).

Quando l'equazione della retta è scritta in forma implicita, il coefficiente angolare è dato da $$m=-\dfrac{a}{b}$$ e l'ordinata alle origine da $$q=-\dfrac{c}{b}$$.​

Casi particolari

• ​per $$a=0$$ si ottiene una retta parallela all'asse $$x$$​;
• per $$b=0$$ si ottiene una retta parallela all'asse $$y$$​;
• per $$c=0$$ si ottiene una retta passante per l'origine.​
  

Dalla forma implicita alla forma esplicita

Per passare dalla forma implicita a quella esplicita occorre trovare l'equivalente della forma implicita ricavando $$y$$ (con $$b\neq0$$).

La retta passante per l'origine

Una retta passante per l'origine ha equazione del tipo $$y=mx$$, in cui $$m$$ è il coefficiente angolare e indica la pendenza della retta rispetto all'asse $$x$$​.

L'equazione $$y=mx$$ non può rappresentare l'asse delle $$y$$​ in quanto, se prendiamo un generico punto sull'asse $$y$$​ $$(0;y)$$, non esistono valori di $$m$$ tali per cui $$y=m\cdot 0$$.

Dimostrare che un punto appartiene ad una retta

​​Procedimento

Esempio

Dimostrare che i punti $$A$$​ $$(1;3)$$ e $$B$$​ $$(3;6)$$ appartengono alla retta $$y=3x$$.

Il coefficiente angolare

Il coefficiente angolare rappresenta l'inclinazione della retta rispetto all'asse $$x$$​.

In formule: $$m=\dfrac{y}{x}$$ con $$x,y\neq0$$.

Nota bene: se $$m>0$$ significa che $$x$$ e $$y$$ hanno lo stesso segno e che la retta appartiene al primo e terzo quadrante, in caso opposto (per $$m<0$$) significa che $$x$$ e $$y$$ hanno segno opposto e la retta appartiene al secondo e quarto quadrante.

​$$m>0$$​​

$$m<0$$​​

Coefficiente angolare di una retta passante per due punti

Dati i punti $$A$$​ ($$x_A;y_A$$) e $$B$$​ ($$x_B;y_B$$) attraverso cui passa una retta, il coefficiente angolare di tale retta è dato da $$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$.

Esempio

Calcola il coefficiente angolare di una retta passante per $$A$$​ ($$6;3$$) e $$B$$​ ($$0;2$$).

$$m=\dfrac{2-3}{0-6}=\dfrac{-1}{-6}=\dfrac{1}{6}$$

​Casi particolari

• Il coefficiente angolare di una retta parallela all'asse orizzontale è $$m=0$$.
• Il coefficiente angolare di una retta parallela all'asse verticale non esiste.

Le equazioni degli assi cartesiani

L'equazione dell'asse x è $$y=0$$ e quella dell'asse y è $$x=0$$.

Le equazioni delle bisettrici

La bisettrice, nel piano cartesiano, è la retta che passa per l'origine e la divide in due angoli di uguale ampiezza. Ogni punto della bisettrice è equidistante dagli assi cartesiani.

Bisettrice del primo e terzo quadrante

L'ascissa e l'ordinata hanno lo stesso segno per cui l'equazione è $$y=x$$.

Bisettrice del secondo e quarto quadrante

L'ascissa e l'ordinata hanno segno opposto per cui l'equazione è $$y=-x$$.

Equazioni delle rette parallele agli assi

L'equazione di una retta parallela all'asse $$x$$​ è $$y=k$$ (con $$k$$ corrispondente a qualsiasi valore reale) in quanto il valore delle ordinate è costante in tutti i suoi punti.​

Il discorso vale anche per le le rette parallele all'asse $$y$$, le quali hanno come equazione ​$$x=h$$ (con $$h$$​ corrispondente a qualsiasi valore reale) in quanto il valore delle ascisse è costante in tutti i suoi punti.

Posizione tra rette

Per capire la posizione reciproca tra due rette occorre ricercare eventuali punti di intersezione risolvendo un sistema tra le due equazioni.

Due rette possono trovarsi tra loro in tre differenti posizioni reciproche:

• se il sistema è determinato le due rette saranno tra loro incidenti, cioè si intersecano in un solo punto;
• se il sistema è impossibile le due rette sono parallele, cioè non hanno punti di intersezione;
• se il sistema è indeterminato le due rette sono coincidenti.
  

Dall'equazione al grafico

Per disegnare una retta partendo da un'equazione occorre è sufficiente trovare due punti sostituendo valori ipotetici di $$x$$ per trovare i corrispondenti di $$y$$.

Esempio

Nel seguente grafico viene rappresentata la retta di equazione $$y=\dfrac{3}{4}x$$ e i punti della retta si ottengono sostituendo valori ipotetici di $$x$$​ per trovare i corrispondenti di $$y$$:

Determinare l'equazione di una retta

​​La retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto

Considerando una retta passante per un punto $$A$$​ ($$x_A;y_A$$) e con coefficiente angolare noto $$m_0$$, l'equazione della retta è data da $$y-y_A=m_0(x-x_A)$$.

Esempio

Considerando $$A$$​ ($$3;2$$) e $$m=2$$, l'equazione della retta è $$y-2=2(x-3)$$; quindi $$y=2x-4$$.​

La retta passante per due punti

Considerando una retta passante per $$A$$​ ($$x_A;y_A$$) e $$B$$​ ($$x_B;y_B$$), l'equazione della retta è data da $$\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}=\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}$$.

Esempio

Considerando $$A$$​ ($$5;2$$) e $$B$$​ ($$3;4$$), l'equazione della retta $$\dfrac{y-2}{4-2}=\dfrac{x-5}{3-5}$$; quindi $$y=-x+7$$.​