Operazioni sui limiti

Limiti fondamentali

Esempi

​$$\lim_{x \rightarrow +\infty} e^x= +\infty \hspace{1cm}\lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt[3]{2x+5} = -\infty \hspace{1cm}\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x^2 + 8x)=-\infty$$

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Limite della somma

Se entrambi i limiti sono finiti, si sommano. Se uno è finito e l'altro è infinito, prevale l'infinito. Se entrambi sono infiniti con segno concorde, il valore finale è infinito concorde. Se entrambi sono infiniti ma di segno opposto è una forma indeterminata, cioè il risultato dipende strettamente dal tipo di funzioni in gioco e il metodo per calcolare il valore finale cambia di caso in caso.

Esempi

​$$\lim_{x \rightarrow +\infty} 4e^x+ x^3 -7= \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x + \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3 + \lim_{x \rightarrow +\infty} (-7)= +\infty + \infty -7= +\infty\\\lim_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{3x} + 2^x = \lim_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{3x} + \lim_{x \rightarrow 0^+} 2^x= 0 + 1=1$$​​

Limite del prodotto

Se entrambi le funzioni hanno valore finito, si calcola il prodotto. Se una ha valore finito ma non nullo e l'altra infinito, prevale l'infinito, per il segno si seguono le normali regole della moltiplicazione. Se entrambe le funzioni hanno valore infinito, il prodotto è infinito e il segno segue le normali regole della moltiplicazione. Il caso in cui una funzione abbia valore nullo e l'altra infinito è una forma indeterminata.

Esempio

​$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln x \cdot (3x^4-4) = [\lim_{x \rightarrow 0^+}\ln x] \cdot [\lim_{x \rightarrow 0^+} (3x^4-4) ]= (-\infty) \cdot (-4)= + \infty$$

Limite del quoziente

Se entrambe le funzioni hanno valore finito e il denominatore ha valore finito non nullo, allora si esegue la divisione. Se il numeratore è finito non nullo e il denominatore è nullo, allora il limite è infinito. Se il numeratore ha valore infinito e il denominatore ha valore finito, prevale l'infinito e per il segno si seguono le normali regole della divisione. Se il numeratore ha valore finito e il denominatore ha valore infinito, il limite ha valore nullo. Se entrambi sono infiniti o nulli è una forma indeterminata.

Esempi

​$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2}{2x^3-x^2} =0\\\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln(x+2)}{e^{-4x}} =+\infty$$​​

Forme indeterminate

Nelle forme indeterminate il risultato delle stesse dipende dalle funzioni in gioco e si possono individuare alcuni casi base. Prima però va chiarito un concetto fondante.

Gerarchia degli infiniti

Le funzioni non divergono all'infinito allo stesso modo, ma alcune sono più rapide di altre. 

Di seguito vengono elencate, dalla meno rapida alla più rapida, le funzioni elementari:

• funzione logaritmica; 
• radice;
• potenza; 
• esponenziale; 
• fattoriale;
• potenza di potenza. 

Date quindi due funzioni $$f(x), g(x)$$ di valore infinito quando $$x$$ tende a infinito , si possono individuare le seguenti casistiche:

Nota bene:  riportando le forme indeterminate a questa struttura si può utilizzare la gerarchia degli infiniti per distinguere i tre casi. L'esponenziale sarà sempre un infinito di ordine superiore alla radice, così come la funzione logaritmica sarà sempre un infinito di ordine inferiore alla potenza. Il confronto tra infiniti può valere anche in alcuni casi in cui $$x$$ tende a un numero qualsiasi, ma qui l'elenco è presentato solo se la funzione tende a infinito!

Forma indeterminata $$+\infty-\infty$$

Si distinguono due casi molto frequenti:

• in una funzione qualsiasi, prevale l'infinito di ordine maggiore e quindi basta usare la gerarchia degli infiniti;
• in una funzione irrazionale, basta moltiplicare la differenza dei termini per la loro somma a numeratore e denominatore, di modo da avere a numeratore una funzione più semplice e a denominatore un infinito di ordine minore.
  

Esempi

​$$\lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 - e^x= -\infty$$ 

$$\lim_{x \rightarrow +\infty } x -\sqrt{2x^2+x} = \lim_{x \rightarrow +\infty } (x -\sqrt{2x^2+x}) \cdot \dfrac{(x +\sqrt{2x^2+x})}{(x +\sqrt{2x^2+x})}= \lim_{x \rightarrow +\infty } \dfrac{x^2 - 2x^2-x}{x +\sqrt{2x^2+x}} =-\infty$$ 

Questo limite è una forma indeterminata, ma non può essere risolto con la gerarchia degli infiniti poiché $$x$$ e $$\sqrt{x^2}$$ sono la stessa potenza! Solo in questo caso si ricorre a questo procedimento.

Nell'ultimo passaggio invece si usa la gerarchia degli infiniti, perché la potenza alla seconda a numeratore è un infinito di ordine superiore di quella a denominatore.

Forma indeterminata $$0 \cdot \infty$$

Anche qui uno dei casi più comuni si risolve con la gerarchia degli infiniti.

Esempio

​$$\lim_{x \rightarrow 0} x\ln{x} = 0$$ 

In quanto il logaritmo è un infinito di ordine inferiore a $$x$$, quindi prevale lo zero.

Forma indeterminata $$\dfrac{\infty}{\infty}$$

Anche qui vale la gerarchia degli infiniti.

Esempi

$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2^x+1}{x^2} = +\infty\\\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^4+1}= 0$$

Funzioni razionali: si guarda qual è la potenza di grado maggiore al numeratore e la si confronta con la potenza di grado maggiore del denominatore, se è maggiore quella del numeratore, il limite è infinito, se è maggiore quella del denominatore, il limite è zero, se sono uguali, il limite è dato dal rapporto dei coefficienti di queste due potenze.

Esempi

​$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3 + 7x^2 -5x+14}{12x^2-x} = -\infty \hspace{1cm} \lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{-5x^4+x^3-12x}{18x^4+ 2x^2} =-\dfrac{5}{18}$$

Forma indeterminata $$\dfrac{0}{0}$$

Scomposizione in fattori primi: è la tecnica più comune per risolvere questo tipo di limite. Si tratta quindi di scomporre i polinomi, semplificare e poi risolvere il limite di una funzione più semplice.

Esempio

$$\lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{x^2-1}{x^2+3x+2} = \lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}= \lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{x-1}{x+2} = - 2$$​