Operazioni con le derivate

La derivata e le quattro operazioni

La tabella riporta le formule da usare quando si ha a che fare con le derivate e le quattro operazioni.

Esempi

$$y= 2x^2-3x+5, y'= 4x-3\\y= \ln(x) -\dfrac{1}{3}\sin(x) +\dfrac{17}{x}, y'= \dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{3}\cos(x) - \dfrac{17}{x^2}$$

​$$y=e^x \cdot \cos(x) + (x^3-5x^2) \cdot 2\sin(x)\\y'=e^x \cdot \cos(x)-e^x \sin(x) + (3x^2-10x) \cdot 2\sin(x) + (x^3-5x^2)\cdot 2\cos(x)$$

$$y=\dfrac{x}{e^x-1}, y'= \dfrac{e^x-1-xe^x}{[e^x-1]^2}\\ y=\dfrac{8x^2-3x}{x^2-1}, y'=\dfrac{(16x-3)\cdot (x^2-1)-(8x^2-3x)\cdot(2x)}{(x^2-1)^2}=\dfrac{3x^2-16x+3}{(x^2-1)^2}$$​​​

​Nota bene: queste formule, come si vede già negli esempi, molto spesso vanno applicate insieme.

Derivate di ordine superiore al primo

Calcolare la derivata seconda di una funzione vuol dire calcolare la derivata della derivata della funzione. 

Nota bene: continuando a derivare si ottengono ordini sempre maggiori di derivata di una funzione.

Esempi

​$$y=x^5-x^2 \to y'= 5x^4-2x \to y''= 20x^3-2 \to y'''=60x\\y=\ln(x) \to y'=\dfrac{1}{x} \to y''= -\dfrac{1}{x^2}\\y= \sin(x)\to y'=\cos(x)\to y''=-\sin (x)\to y'''= -\cos(x)$$​​